2014-06-07
Три окружности, лежащие на сфере и имеющие общий с ней центр О, проходит через точку $A$. Па этих окружностях выбраны точки $B, C, D$ соответственно так, что $\angle AOB = 90^{\circ}$, а прямая $OB$ является биссектрисой угла $COD$. Доказать, что если лучи $AB^{\prime}, AC^{\prime}, AD^{\prime}$ касаются дуг $AB, AC, AD$ соответствующих окружностей, то луч $AB^{\prime}$ является биссектрисой угла $C^{\prime}AD^{\prime}$.
Решение:
Угол $C^{\prime}AB^{\prime}$ представляет собой линейный угол двугранного угла с ребром OA и гранями, проходящими через точки С и B соответственно, так как лучи $AC^{\prime}$ и $AB^{\prime}$ перпендикулярны общему радиусу OA (рис. ). Аналогично угол $D^{\prime}AB^{\prime}$ является линейным углом двугранного угла с ребром OA и гранями, проходящими через точки D и В. Так как указанные двугранные углы симметричны друг другу относительно прямой ОВ (прямая OA симметрична себе, а точка С - точке D), то они равны, а значит, равны и их линейные углы
$\angle C^{\prime}AB^{\prime} = \angle D^{\prime}AB^{\prime}$.