Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3348
2019-06-02 
Можно ли расставить охрану вокруг точечного объекта так, чтобы ни к объекту, ни к часовым нельзя было незаметно подкрасться? (Каждый часовой стоит неподвижно и видит на 100 м строго вперед.)
Решение:
На рис. показан пример расположения шести часовых, удовлетворяющий условию. Кружочками обозначены часовые, каждая из стрелок указывает направление, в котором смотрит часовой.
Комментарий. Пять часовых не удастся так расставить. Действительно, пусть часовые расставлены требуемым образом; рассмотрим точки пересечения «отрезков зрения» часовых. Рассмотрим выпуклую оболочку этих точек. Мы утверждаем, что все часовые находятся внутри этой выпуклой оболочки. Действительно, если это не так, то отделим часового прямой от всех точек пересечения. Пусть враг подкрадывается к часовому из полуплоскости $P$, в которой нет ни одной точки пересечения отрезков зрения. Если он подходит к отрезку зрения, то он просто обходит его, оставаясь в полуплоскости $P$ (он сможет это сделать, так как этот отрезок не пересекает других отрезков зрения в $P$).
Ясно, что выпуклая оболочка - многоугольник с не менее, чем тремя вершинами. Каждая вершина - пересечение хотя бы двух отрезков зрения. Мы утверждаем, что каждый часовой участвует в образовании не более чем одной вершины выпуклой оболочки (тогда часовых не менее шести, и все доказано). Действительно, пусть часовой $X$ участвует в образовании вершин $A$ и $B$ выпуклой оболочки, тогда он находится на прямой $AB$, вне отрезка $AB$, т. е. вне выпуклой оболочки или на ее границе - противоречие.
Ответ: Да, можно.
Можно ли расставить охрану вокруг точечного объекта так, чтобы ни к объекту, ни к часовым нельзя было незаметно подкрасться? (Каждый часовой стоит неподвижно и видит на 100 м строго вперед.)
Решение:
На рис. показан пример расположения шести часовых, удовлетворяющий условию. Кружочками обозначены часовые, каждая из стрелок указывает направление, в котором смотрит часовой.
Комментарий. Пять часовых не удастся так расставить. Действительно, пусть часовые расставлены требуемым образом; рассмотрим точки пересечения «отрезков зрения» часовых. Рассмотрим выпуклую оболочку этих точек. Мы утверждаем, что все часовые находятся внутри этой выпуклой оболочки. Действительно, если это не так, то отделим часового прямой от всех точек пересечения. Пусть враг подкрадывается к часовому из полуплоскости $P$, в которой нет ни одной точки пересечения отрезков зрения. Если он подходит к отрезку зрения, то он просто обходит его, оставаясь в полуплоскости $P$ (он сможет это сделать, так как этот отрезок не пересекает других отрезков зрения в $P$).
Ясно, что выпуклая оболочка - многоугольник с не менее, чем тремя вершинами. Каждая вершина - пересечение хотя бы двух отрезков зрения. Мы утверждаем, что каждый часовой участвует в образовании не более чем одной вершины выпуклой оболочки (тогда часовых не менее шести, и все доказано). Действительно, пусть часовой $X$ участвует в образовании вершин $A$ и $B$ выпуклой оболочки, тогда он находится на прямой $AB$, вне отрезка $AB$, т. е. вне выпуклой оболочки или на ее границе - противоречие.
Ответ: Да, можно.
