Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3346
2019-06-02 
Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника $A$ было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью - 1/2 очка, за поражение - 0 очков) и коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого $A$ выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?
Решение:
Обозначим сумму очков, набранных участником $A$, через $S_A$, а его коэффициент силы - через $F_A$. Рассмотрим сумму $\sum S_AF_A$ (сумма берется по всем участникам). Мы утверждаем, что эта сумма равна нулю.
Действительно, определим число $r(A, B)$ следующим образом:
$r(A, B) = \begin{cases} 1, & \: если \: игрок \: A \: выиграл \: у \: игрока \: B, \\ 0, & \: если \: игроки \: A \: и \: B \: сыграли \: вничью, \\ -1,& \: если \: игрок \: A \: проиграл \: игроку \: B. \end{cases}$
Тогда, по определению, $F_A = \sum_{A \neq B} r(A, B)S_B$. Значит,
$\sum_A S_A F_A = \sum_{A \neq B} r(A, B)S_AS_B$.
Приведем подобные члены. Если игроки $A$ и $В$ сыграли вничью, то член $S_AS_B$ входит в эту сумму с коэффициентом нуль. Если $A$ выиграл у $В$, то член $S_AS_B$ входит дважды: один раз с коэффициентом 1, а другой раз - с коэффициентом -1. Значит, вся сумма равна нулю, как и утверждалось.
Числа $S_A$ неотрицательны, и среди них есть хотя бы одно положительное (на самом деле только одно из этих чисел может быть нулем). Если бы все коэффициенты $F_A$ были положительны, то и сумма $\sum_{A} S_AF_A$ была бы положительна, а мы только что доказали, что эта сумма равна нулю. Значит, коэффициенты силы у всех участников не могут быть положительными. Аналогично, если бы все коэффициенты силы были отрицательны, то и сумма $\sum_A S_AF_A$ была бы отрицательна.
Ответ: а), б) Нет, не могут.
Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника $A$ было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью - 1/2 очка, за поражение - 0 очков) и коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого $A$ выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?
Решение:
Обозначим сумму очков, набранных участником $A$, через $S_A$, а его коэффициент силы - через $F_A$. Рассмотрим сумму $\sum S_AF_A$ (сумма берется по всем участникам). Мы утверждаем, что эта сумма равна нулю.
Действительно, определим число $r(A, B)$ следующим образом:
$r(A, B) = \begin{cases} 1, & \: если \: игрок \: A \: выиграл \: у \: игрока \: B, \\ 0, & \: если \: игроки \: A \: и \: B \: сыграли \: вничью, \\ -1,& \: если \: игрок \: A \: проиграл \: игроку \: B. \end{cases}$
Тогда, по определению, $F_A = \sum_{A \neq B} r(A, B)S_B$. Значит,
$\sum_A S_A F_A = \sum_{A \neq B} r(A, B)S_AS_B$.
Приведем подобные члены. Если игроки $A$ и $В$ сыграли вничью, то член $S_AS_B$ входит в эту сумму с коэффициентом нуль. Если $A$ выиграл у $В$, то член $S_AS_B$ входит дважды: один раз с коэффициентом 1, а другой раз - с коэффициентом -1. Значит, вся сумма равна нулю, как и утверждалось.
Числа $S_A$ неотрицательны, и среди них есть хотя бы одно положительное (на самом деле только одно из этих чисел может быть нулем). Если бы все коэффициенты $F_A$ были положительны, то и сумма $\sum_{A} S_AF_A$ была бы положительна, а мы только что доказали, что эта сумма равна нулю. Значит, коэффициенты силы у всех участников не могут быть положительными. Аналогично, если бы все коэффициенты силы были отрицательны, то и сумма $\sum_A S_AF_A$ была бы отрицательна.
Ответ: а), б) Нет, не могут.
