Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3345
2019-06-02 
Натуральное число $N$ в $\underbrace{999 \cdots 99}_{k \:штук}$ раз больше суммы своих цифр. Укажите все возможные значения $k$ и для каждого из них приведите пример такого числа.
Решение:
Заметим, что $\underbrace {999 \cdots 99}_{k \: девяток} = 10^k - 1$. Рассмотрим число $N_k = 9k \cdot (10^k - 1)$ и покажем, что оно удовлетворяет условию задачи. Пусть $9k = \overline {S_1 \cdots s_t 0 \cdots 0}$ (здесь $s_t \neq 0$, а нулей на конце может и не быть). Достаточно проверить, что сумма цифр числа $N_k$ равна $9k$. Нетрудно доказать по индукции, что $9k < 10^k$ при любом $k \geq 1$. Учитывая это обстоятельство, вычислим разность чисел $9k \cdot 10^k$ и $9k$ в столбик:
В нижней строчке записано число $N_k$. Легко видеть, что сумма его цифр равна
$s_1 + \cdots + s_{t-1} + (s_t - 1) + \underbrace {9 + \cdots + 9}_{k-1 \:девятка} + 10 - s_1 - \cdots - s_t = 9k$.
Ответ: Такое число существует для любого $k$.
Натуральное число $N$ в $\underbrace{999 \cdots 99}_{k \:штук}$ раз больше суммы своих цифр. Укажите все возможные значения $k$ и для каждого из них приведите пример такого числа.
Решение:
Заметим, что $\underbrace {999 \cdots 99}_{k \: девяток} = 10^k - 1$. Рассмотрим число $N_k = 9k \cdot (10^k - 1)$ и покажем, что оно удовлетворяет условию задачи. Пусть $9k = \overline {S_1 \cdots s_t 0 \cdots 0}$ (здесь $s_t \neq 0$, а нулей на конце может и не быть). Достаточно проверить, что сумма цифр числа $N_k$ равна $9k$. Нетрудно доказать по индукции, что $9k < 10^k$ при любом $k \geq 1$. Учитывая это обстоятельство, вычислим разность чисел $9k \cdot 10^k$ и $9k$ в столбик:
В нижней строчке записано число $N_k$. Легко видеть, что сумма его цифр равна
$s_1 + \cdots + s_{t-1} + (s_t - 1) + \underbrace {9 + \cdots + 9}_{k-1 \:девятка} + 10 - s_1 - \cdots - s_t = 9k$.
Ответ: Такое число существует для любого $k$.
