Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3338
2019-06-02 
В треугольнике $ABC$ проведены биссектриса $AK$, медиана $BL$ и высота $CM$. Треугольник $KLM$ равносторонний. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.
Решение:
Напомним, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине и, наоборот, если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
Медиана $ML$ прямоугольного треугольника $AMC$ равна половине гипотенузы $AC$, т. е.
$ML = AL = LC$.
По условию, треугольник $KLM$ равносторонний, так что $KL = ML$ (рис.). Значит, в треугольнике $AKC$ медиана $KL$ равна половине стороны $AC$, поэтому угол $AKC$ прямой. Таким образом, в треугольнике $ABC$ биссектриса $AK$ является высотой.
Следовательно, треугольник $BAC$ равнобедренный $(AB = AC)$ и $AK$ является также медианой: $BK = KC$. Значит, $MK$ - медиана прямоугольного треугольника $BMC$, поэтому $BC = 2MK = 2KL = AC$. Итак, $AB = BC = AC$, что и требовалось доказать.
В треугольнике $ABC$ проведены биссектриса $AK$, медиана $BL$ и высота $CM$. Треугольник $KLM$ равносторонний. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.
Решение:
Напомним, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине и, наоборот, если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
Медиана $ML$ прямоугольного треугольника $AMC$ равна половине гипотенузы $AC$, т. е.
$ML = AL = LC$.
По условию, треугольник $KLM$ равносторонний, так что $KL = ML$ (рис.). Значит, в треугольнике $AKC$ медиана $KL$ равна половине стороны $AC$, поэтому угол $AKC$ прямой. Таким образом, в треугольнике $ABC$ биссектриса $AK$ является высотой.
Следовательно, треугольник $BAC$ равнобедренный $(AB = AC)$ и $AK$ является также медианой: $BK = KC$. Значит, $MK$ - медиана прямоугольного треугольника $BMC$, поэтому $BC = 2MK = 2KL = AC$. Итак, $AB = BC = AC$, что и требовалось доказать.
