Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3335
2019-06-02 
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 200 и высотой 100 клеток. Его закрашивают по клеткам, начав с левой верхней и идя по спирали (дойдя до края или уже закрашенной части, поворачивают направо, рис.). Какая клетка будет закрашена последней? (Укажите номер ее строки и столбца. Например, нижняя правая клетка стоит в 100-й строке и 200-м столбце.)
Решение:
Сначала будет закрашен наружный слой клеток, после чего останется прямоугольник $98 \times 198$ клеток. Этот прямоугольник также будет закрашиваться по спирали; после закраски его наружного слоя останется прямоугольник $96 \times 196$ клеток, и так далее.
Посмотрим, что произойдет после закраски 49 слоев (рис.). Будут закрашены верхние 49 строк и нижние 49 строк, значит, незакрашенные клетки будут только в 50-й и 51-й строках. Аналогично, будут закрашены левые 49 столбцов (с номерами 1-49), и правые 49 столбцов (с номерами 152-200). Итак, незакрашенными останутся клетки, расположенные на пересечении столбцов с номерами 50-151 и строк с номерами 50-51 (это прямоугольник $2 \times 102$). Последней будет закрашена нижняя левая клетка этого прямоугольника, она расположена в 51-й строке и 50-м столбце.
Ответ: Клетка, расположенная в 51-й строке и 50-м столбце.
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 200 и высотой 100 клеток. Его закрашивают по клеткам, начав с левой верхней и идя по спирали (дойдя до края или уже закрашенной части, поворачивают направо, рис.). Какая клетка будет закрашена последней? (Укажите номер ее строки и столбца. Например, нижняя правая клетка стоит в 100-й строке и 200-м столбце.)
Решение:
Сначала будет закрашен наружный слой клеток, после чего останется прямоугольник $98 \times 198$ клеток. Этот прямоугольник также будет закрашиваться по спирали; после закраски его наружного слоя останется прямоугольник $96 \times 196$ клеток, и так далее.
Посмотрим, что произойдет после закраски 49 слоев (рис.). Будут закрашены верхние 49 строк и нижние 49 строк, значит, незакрашенные клетки будут только в 50-й и 51-й строках. Аналогично, будут закрашены левые 49 столбцов (с номерами 1-49), и правые 49 столбцов (с номерами 152-200). Итак, незакрашенными останутся клетки, расположенные на пересечении столбцов с номерами 50-151 и строк с номерами 50-51 (это прямоугольник $2 \times 102$). Последней будет закрашена нижняя левая клетка этого прямоугольника, она расположена в 51-й строке и 50-м столбце.
Ответ: Клетка, расположенная в 51-й строке и 50-м столбце.
