Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3332
2019-06-02 
У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т.д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?
Решение:
Рассмотрим многочлен $P(x) = x^3 - x^2 - x - 1$. Этот многочлен имеет корень $t$, больший 1, поскольку $P(1) < 0$, а $P(2) > 0$. Возьмем длины палочек равными $t^3, t^2, t$. Напомним, что из трех отрезков можно сложить треугольник тогда и только тогда, когда длина большего из них меньше суммы длин двух оставшихся. Так как $t^3 = t^2 + t + 1 > t^2 + t$, из этих палочек не удастся сложить треугольник. После первого отпиливания получим палочки с длинами $t^2, t, 1$. Так как отношение длин не изменилось, процесс будет продолжаться бесконечно.
Ответ: Может.
У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т.д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?
Решение:
Рассмотрим многочлен $P(x) = x^3 - x^2 - x - 1$. Этот многочлен имеет корень $t$, больший 1, поскольку $P(1) < 0$, а $P(2) > 0$. Возьмем длины палочек равными $t^3, t^2, t$. Напомним, что из трех отрезков можно сложить треугольник тогда и только тогда, когда длина большего из них меньше суммы длин двух оставшихся. Так как $t^3 = t^2 + t + 1 > t^2 + t$, из этих палочек не удастся сложить треугольник. После первого отпиливания получим палочки с длинами $t^2, t, 1$. Так как отношение длин не изменилось, процесс будет продолжаться бесконечно.
Ответ: Может.
