Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3331
2019-06-02 
Хорды $AC$ и $BD$ окружности с центром $O$ пересекаются в точке $K$. Пусть $M$ и $N$ - центры окружностей, описанных около треугольников $AKB$ и $CKD$ соответственно. Докажите, что $OM = KN$.
Решение:
Пусть $X$ - середина $KB$ (рис. а). Тогда $\angle KMX = \frac{1}{2} \angle KMB = \angle KAB = \angle KDC$ (в предпоследнем равенстве мы пользуемся тем, что угол опирающийся на дугу, равен половине дуги, в последнем - тем, что углы, опирающиеся на равные дуги, равны). Ясно, что $MX \perp BD$, значит, $KM \perp CD$. При этом $ON \perp CD$, так что $ON \parallel KM$. Аналогично, $OM \parallel KN$.
Если точки $O, K, M, N$ не лежат на одной прямой, то $OMKN$ - параллелограмм, и $OM = KN$. В противном случае рассмотрим ортогональные проекции отрезков $OM$ и $KN$ на $AC$ (рис. б). Так как точки $O, M$ и $N$ проектируются соответственно в середины отрезков $AC, AK$ и $KC$, проекции отрезков $OM$ и $KN$ равны $\frac{1}{2} KC$. Так как эти отрезки лежат на одной прямой, то из равенства длин проекций следует равенство длин самих отрезков.
Хорды $AC$ и $BD$ окружности с центром $O$ пересекаются в точке $K$. Пусть $M$ и $N$ - центры окружностей, описанных около треугольников $AKB$ и $CKD$ соответственно. Докажите, что $OM = KN$.
Решение:
Пусть $X$ - середина $KB$ (рис. а). Тогда $\angle KMX = \frac{1}{2} \angle KMB = \angle KAB = \angle KDC$ (в предпоследнем равенстве мы пользуемся тем, что угол опирающийся на дугу, равен половине дуги, в последнем - тем, что углы, опирающиеся на равные дуги, равны). Ясно, что $MX \perp BD$, значит, $KM \perp CD$. При этом $ON \perp CD$, так что $ON \parallel KM$. Аналогично, $OM \parallel KN$.
Если точки $O, K, M, N$ не лежат на одной прямой, то $OMKN$ - параллелограмм, и $OM = KN$. В противном случае рассмотрим ортогональные проекции отрезков $OM$ и $KN$ на $AC$ (рис. б). Так как точки $O, M$ и $N$ проектируются соответственно в середины отрезков $AC, AK$ и $KC$, проекции отрезков $OM$ и $KN$ равны $\frac{1}{2} KC$. Так как эти отрезки лежат на одной прямой, то из равенства длин проекций следует равенство длин самих отрезков.
