Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3330
2019-06-02 
Вычислите
$\int_{0}^{ \pi} ( | \sin 1999x| - | \sin 2000x| )dx$.
Решение:
Первый способ. Так как интеграл от разности функций равен разности интегралов, получаем:
$\int_{0}^{\pi} (|\sin 1999x| - | \sin 2000x|) dx = \int_{0}^{\pi} (|\sin 1999x| dx - \int_{0}^{\pi} (|\sin 2000x| dx$. (1)
Мы покажем, что
$\int_{0}^{\pi} (|\sin kx| dx = 2$
при любом натуральном $k$. Из этого будет следовать, что правая часть (1) равна нулю.
Функция $| \sin kx |$ периодична с периодом $\pi /k$. Значит,
$\int_{0}^{\pi} (|\sin kx| dx = k \int_{0}^{\pi/k} (|\sin kx| dx = k \int_{0}^{\pi/k} (\sin kx dx$. (2)
Интеграл в правой части легко вычислить, сделав замену $y = kx$:
$\int_{0}^{\pi/k} {\sin kx dx} = \int_{0}^{\pi} {\sin y dy/k} = 2/k$.
Значит, интеграл (2) равен 2 при любом $k$, и наше утверждение доказано.
Второй способ (набросок). График функции $| \sin kx |$ на отрезке $[0; \pi]$ состоит из $k$ одинаковых «шапочек» (рис.), которые получаются из графика функции $\sin x$ на том же отрезке путем сжатия к оси ординат в $k$ раз. При этом площадь под графиком также уменьшается в $k$ раз. Как следствие, площадь под $k$ «шапочками» одинакова при любом $k$. Поэтому искомый интеграл равен нулю.
Ответ: 0.
Вычислите
$\int_{0}^{ \pi} ( | \sin 1999x| - | \sin 2000x| )dx$.
Решение:
Первый способ. Так как интеграл от разности функций равен разности интегралов, получаем:
$\int_{0}^{\pi} (|\sin 1999x| - | \sin 2000x|) dx = \int_{0}^{\pi} (|\sin 1999x| dx - \int_{0}^{\pi} (|\sin 2000x| dx$. (1)
Мы покажем, что
$\int_{0}^{\pi} (|\sin kx| dx = 2$
при любом натуральном $k$. Из этого будет следовать, что правая часть (1) равна нулю.
Функция $| \sin kx |$ периодична с периодом $\pi /k$. Значит,
$\int_{0}^{\pi} (|\sin kx| dx = k \int_{0}^{\pi/k} (|\sin kx| dx = k \int_{0}^{\pi/k} (\sin kx dx$. (2)
Интеграл в правой части легко вычислить, сделав замену $y = kx$:
$\int_{0}^{\pi/k} {\sin kx dx} = \int_{0}^{\pi} {\sin y dy/k} = 2/k$.
Значит, интеграл (2) равен 2 при любом $k$, и наше утверждение доказано.
Второй способ (набросок). График функции $| \sin kx |$ на отрезке $[0; \pi]$ состоит из $k$ одинаковых «шапочек» (рис.), которые получаются из графика функции $\sin x$ на том же отрезке путем сжатия к оси ординат в $k$ раз. При этом площадь под графиком также уменьшается в $k$ раз. Как следствие, площадь под $k$ «шапочками» одинакова при любом $k$. Поэтому искомый интеграл равен нулю.
Ответ: 0.
