2014-06-07
Найти наибольшее число точек, которые можно расположить на сфере радиуса 1 так, чтобы расстояние между любыми двумя из них было:
а) не меньше $\sqrt{2}$; б) больше $\sqrt{2}$.
Решение:
а) Докажем, что если точки $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ расположены на сфере с центром О и радиусом 1 так, что расстояние между любыми точками $A_{i}, A_{j} (i \neq j)$ не меньше $\sqrt{2}$, то $n \leq 6$. В самом деле, пусть $n > 6$. По теореме косинусов имеем
$A_{i}A_{j}^{2} = 2 – 2 \cos \angle A_{i}OA_{j} \geq 2$,
откуда $\angle A_{i}OA_{j} \geq 90^{\circ}$ и $\overrightarrow{OA_{i}} \cdot \overrightarrow{OA_{j}} \leq 0$. Выберем в пространстве прямоугольную систему координат с началом и точке О следующим образом. Заметим прежде всего, что среди векторов $\overrightarrow{OA_{i}}$ обязательно найдутся три некомпланарных вектора (в противном случае все $n > 4$ векторов лежали бы в одной плоскости и, следовательно, угол между какими-то двумя из них был бы острым). Вез ограничения общности можно считать, что векторы $\overrightarrow{OA_{1}}, \overrightarrow{OA_{2}}, \overrightarrow{OA_{3}}$, некомпланарны. Ось ОХ направим вдоль прямой $OA_{1}$ так, чтобы абсцисса точки $A_{2}$ равнялась 1. Далее, ось OY направим так, чтобы точка $A_{2}$ лежала в плоскости XOY и имела положительную ординату. Наконец, ось OZ, направим так, чтобы аппликата точки $A_{3}$ была положительной. Обозначим через $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ координаты точки $A_{i}$. Тогда
$\overrightarrow{OA_{1}} = (1;0;0), 0), \overrightarrow{OA_{2}} = (x_{2};y_{2};0), \overrightarrow{OA_{3}} = (x_{3};y_{3};z_{3})$,
где $y_{2} > 0, z_{3} > 0$, поэтому для всех значений $i > 1$ имеем
$\overrightarrow{OA_{i}} \cdot \overrightarrow{OA_{1}} = x_{i} \leq 0$;
далее, для всех значений $i > 2$ имеем
$\overrightarrow{OA_{i}} \cdot \overrightarrow{OA_{2}} = x_{i}x_{2} + y_{i}y_{2} \leq 0$
откуда $y_{i} \leq 0$ (ибо $x_{2} \leq 0, x_{i} \leq 0, y_{2} > 0$); наконец, для всех значений $i > 3$ имеем
$\overrightarrow{OA_{i}} \cdot \overrightarrow{OA_{3}} = x_{i}x_{3} + y_{i}y_{3} + z_{i}z_{3} \leq 0$
откуда $z_{i} \leq 0$ (ибо $x_{3} \leq 0, x_{i} \leq 0, y_{3} \leq 0, y_{i} \leq 0, z_{3} > 0$). Среди четырех векторов $\overrightarrow{OA_{4}}, \overrightarrow{OA_{5}}, \overrightarrow{OA_{6}}, \overrightarrow{OA_{7}}$ хотя бы два имеют одноименную отрицательную координату, а значит, их скалярное произведение положительно. Полученное противоречие доказывает, что $n \leq 6$. Так как 6 точек с координатами
$(\pm 1;0;0), (0; \pm 1;0), (0;0; \pm 1)$
удовлетворяют условию п. а), то наибольшее число точек равно 6.
б) Докажем, что если точки $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ расположены на той же сфере так, что расстояние между любыми точками $A_{i}, A_{j} (i \neq j)$ больше $\sqrt{2}$, то $n \leq 4$. В самом деле, пусть $n > 4$. Тогда $\overrightarrow{OA_{i}} \cdot \overrightarrow{OA_{j}} < 0$, и если выбрать прямоугольную систему координат так же. как в решении п. а), то аналогично при $i > 3$ будем иметь $x_{i} < 0, y_{i} < 0, z_{i} < 0$. Поэтому скалярное произведение векторов $\overrightarrow{OA_{4}}, \overrightarrow{OA_{5}}$ будет положительно. Итак, доказано, что $n \leq 4$. Поскольку 4 точки, расположенные в вершинах правильного тетраэдра, вписанного в сферу, удовлетворяют условию п. б), то наибольшее число точек равно 4.