Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3328
2019-06-02 
Из колоды вынули 7 карт, показали всем, перетасовали и раздали Грише и Лёше по 3 карты, а оставшуюся карту а) спрятали; б) отдали Коле.
Гриша и Лёша могут по очереди сообщать вслух любую информацию о своих картах. Могут ли они сообщить друг другу свои карты так, чтобы при этом Коля не смог вычислить местонахождение ни одной из тех карт, которых он не видит? (Гриша и Лёша не договаривались о каком-либо особом способе общения; все переговоры происходят открытым текстом.)
Решение:
а) Пусть Гриша назовет два набора карт: свой и набор из трех карт, которых у него нет, и скажет: «У меня один из этих наборов». При этом Лёша узнает Гришины карты (так как Гришин набор не пересекается с Лёшиным набором, а второй названный Гришей набор - обязательно пересекается).
Теперь возможны две ситуации: если второй из наборов, названных Гришей, не совпадает с Лёшиным, то Лёша должен назвать набор своих карт и набор Гришиных карт и сказать: «У меня один из этих наборов».
Если второй из наборов, названных Гришей, совпадает с Лёшиным, то Лёша должен поступить иначе (чтобы Коля не узнал спрятанной карты): он называет свой набор и любые три карты, которых у него нет (но не Гришин набор).
После этого каждый из них знает весь расклад. Коле же ничего не ясно. Действительно, названо три набора карт: $A, B$ и $C$. Гриша сказал: «У меня либо $A$, либо $B$», Лёша сказал: «У меня либо $A$, либо $C$» (наборы $B$ и $C$ пересекаются по двум картам, а остальные пары наборов не пересекаются). Это означает, что либо у Гриши набор $A$, а у Лёши - $C$, либо у Гриши - $B$, а у Лёши - $A$. Конечно, эти расклады различны, и даже закрытую карту определить нельзя.
б) Заметим, что предыдущий способ не работает: зная закрытую карту, Коля может все определить. Занумеруем карты числами от 0 до 6. Пусть Гриша и Лёша по очереди назовут остатки от деления суммы номеров своих карт на 7. Тогда они узнают расклад: каждый из них должен лишь прибавить к своей сумме сумму другого и найти остаток, противоположный этой общей сумме по модулю 7 (т. е. такой, который при прибавлении к этой сумме дает число, делящееся на 7). Это и будет номер закрытой карты. После этого восстановление расклада не составляет труда. Проверим, что Коля ничего не узнал. Рассмотрим карту с номером $s$. Покажем, что она могла попасть к Грише, если он назвал сумму $a$. Для этого надо дополнить эту карту двумя другими с суммой номеров $a - s$ (по модулю 7). Легко видеть (проверьте!), что существует три различные пары номеров, дающие в сумме $a - s$. Одна пара может быть «испорчена» тем, что туда входит карта с номером $s$. Еще одна пара может быть испорчена тем, что туда входит Колина карта, но как минимум одна пара остается. Ею мы и дополним набор Гриши. Такие же рассуждения показывают, что любая карта могла оказаться и у Лёши.
Ответ: а), б) Могут.
Из колоды вынули 7 карт, показали всем, перетасовали и раздали Грише и Лёше по 3 карты, а оставшуюся карту а) спрятали; б) отдали Коле.
Гриша и Лёша могут по очереди сообщать вслух любую информацию о своих картах. Могут ли они сообщить друг другу свои карты так, чтобы при этом Коля не смог вычислить местонахождение ни одной из тех карт, которых он не видит? (Гриша и Лёша не договаривались о каком-либо особом способе общения; все переговоры происходят открытым текстом.)
Решение:
а) Пусть Гриша назовет два набора карт: свой и набор из трех карт, которых у него нет, и скажет: «У меня один из этих наборов». При этом Лёша узнает Гришины карты (так как Гришин набор не пересекается с Лёшиным набором, а второй названный Гришей набор - обязательно пересекается).
Теперь возможны две ситуации: если второй из наборов, названных Гришей, не совпадает с Лёшиным, то Лёша должен назвать набор своих карт и набор Гришиных карт и сказать: «У меня один из этих наборов».
Если второй из наборов, названных Гришей, совпадает с Лёшиным, то Лёша должен поступить иначе (чтобы Коля не узнал спрятанной карты): он называет свой набор и любые три карты, которых у него нет (но не Гришин набор).
После этого каждый из них знает весь расклад. Коле же ничего не ясно. Действительно, названо три набора карт: $A, B$ и $C$. Гриша сказал: «У меня либо $A$, либо $B$», Лёша сказал: «У меня либо $A$, либо $C$» (наборы $B$ и $C$ пересекаются по двум картам, а остальные пары наборов не пересекаются). Это означает, что либо у Гриши набор $A$, а у Лёши - $C$, либо у Гриши - $B$, а у Лёши - $A$. Конечно, эти расклады различны, и даже закрытую карту определить нельзя.
б) Заметим, что предыдущий способ не работает: зная закрытую карту, Коля может все определить. Занумеруем карты числами от 0 до 6. Пусть Гриша и Лёша по очереди назовут остатки от деления суммы номеров своих карт на 7. Тогда они узнают расклад: каждый из них должен лишь прибавить к своей сумме сумму другого и найти остаток, противоположный этой общей сумме по модулю 7 (т. е. такой, который при прибавлении к этой сумме дает число, делящееся на 7). Это и будет номер закрытой карты. После этого восстановление расклада не составляет труда. Проверим, что Коля ничего не узнал. Рассмотрим карту с номером $s$. Покажем, что она могла попасть к Грише, если он назвал сумму $a$. Для этого надо дополнить эту карту двумя другими с суммой номеров $a - s$ (по модулю 7). Легко видеть (проверьте!), что существует три различные пары номеров, дающие в сумме $a - s$. Одна пара может быть «испорчена» тем, что туда входит карта с номером $s$. Еще одна пара может быть испорчена тем, что туда входит Колина карта, но как минимум одна пара остается. Ею мы и дополним набор Гриши. Такие же рассуждения показывают, что любая карта могла оказаться и у Лёши.
Ответ: а), б) Могут.
