Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3326
2019-06-02 
На бумаге «в клеточку» нарисован выпуклый многоугольник, так что все его вершины находятся в вершинах клеток и ни одна из его сторон не идет по вертикали или горизонтали. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков линий сетки, заключенных внутри многоугольника, равна сумме длин горизонтальных отрезков линий сетки внутри многоугольника.
Решение:
Докажем, что каждая из рассматриваемых величин равна площади многоугольника. Проверим это для суммы длин вертикальных отрезков. Проведем эти отрезки. Пусть их длины равны $a_1, \cdots, a_n$ (рис.). Тогда многоугольник разобьется на два треугольника и $n-1$ трапецию, причем высоты этих фигур будут равны одной клеточке. По формуле для площади трапеции, площадь $i$-й трапеции равна $\frac{a_i +a_{i+1}}{2}$ клеточек, а площади треугольников равны $\frac{a_1}{2}$ клеточек и $\frac{a_n}{2}$ клеточек. Значит, площадь многоугольника равна
$\frac{a_1}{2} + \frac{a_1 + a_2}{2} + \cdots + \frac{a_{n-1} + a_n}{2} + \frac{a_n}{2} = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$.
Что и требовалось.
На бумаге «в клеточку» нарисован выпуклый многоугольник, так что все его вершины находятся в вершинах клеток и ни одна из его сторон не идет по вертикали или горизонтали. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков линий сетки, заключенных внутри многоугольника, равна сумме длин горизонтальных отрезков линий сетки внутри многоугольника.
Решение:
Докажем, что каждая из рассматриваемых величин равна площади многоугольника. Проверим это для суммы длин вертикальных отрезков. Проведем эти отрезки. Пусть их длины равны $a_1, \cdots, a_n$ (рис.). Тогда многоугольник разобьется на два треугольника и $n-1$ трапецию, причем высоты этих фигур будут равны одной клеточке. По формуле для площади трапеции, площадь $i$-й трапеции равна $\frac{a_i +a_{i+1}}{2}$ клеточек, а площади треугольников равны $\frac{a_1}{2}$ клеточек и $\frac{a_n}{2}$ клеточек. Значит, площадь многоугольника равна
$\frac{a_1}{2} + \frac{a_1 + a_2}{2} + \cdots + \frac{a_{n-1} + a_n}{2} + \frac{a_n}{2} = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$.
Что и требовалось.
