Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3324
2019-06-02 
Точки $A$ и $B$ взяты на графике функции $y = 1/x, x > 0$. Из них опущены перпендикуляры на ось абсцисс, основания перпендикуляров - $H_A$ и $H_B$; $O$ - начало координат. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямыми $OA, OB$ и дугой $AB$, равна площади фигуры, ограниченной прямыми $AH_A, BH_B$, осью абсцисс и дугой $AB$.
Решение:
Можно считать, что абсцисса точки $A$ меньше абсциссы точки $B$ (рис.). Рассмотрим точку $K$ пересечения отрезков $AH_A$ и $OB$. Рассматриваемые фигуры пересекаются по криволинейному «треугольнику» $AKB$. Значит, разность рассматриваемых площадей равна разности площадей треугольника OAK и четырехугольника $H_{A}KBH_{B}$. Покажем, что эта разность равна нулю:
$S(OAK) - S(H_AKBH_B) = S(OAH_A) - S(OBH_B) = \frac{ OH_A \cdots AH_A}{2} - \frac{OH_B \cdot BH_B}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.
Предпоследнее равенство следует из того, что точки $A$ и $B$ лежат на графике функции $y = \frac{1}{x}$.
Точки $A$ и $B$ взяты на графике функции $y = 1/x, x > 0$. Из них опущены перпендикуляры на ось абсцисс, основания перпендикуляров - $H_A$ и $H_B$; $O$ - начало координат. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямыми $OA, OB$ и дугой $AB$, равна площади фигуры, ограниченной прямыми $AH_A, BH_B$, осью абсцисс и дугой $AB$.
Решение:
Можно считать, что абсцисса точки $A$ меньше абсциссы точки $B$ (рис.). Рассмотрим точку $K$ пересечения отрезков $AH_A$ и $OB$. Рассматриваемые фигуры пересекаются по криволинейному «треугольнику» $AKB$. Значит, разность рассматриваемых площадей равна разности площадей треугольника OAK и четырехугольника $H_{A}KBH_{B}$. Покажем, что эта разность равна нулю:
$S(OAK) - S(H_AKBH_B) = S(OAH_A) - S(OBH_B) = \frac{ OH_A \cdots AH_A}{2} - \frac{OH_B \cdot BH_B}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.
Предпоследнее равенство следует из того, что точки $A$ и $B$ лежат на графике функции $y = \frac{1}{x}$.
