Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 332
2014-06-07 
Площади оснований усеченной пирамиды равны $S_{1}$ и $S_{2}$, а площадь боковой поверхности равна $S$. Доказать, что если некоторая плоскость, параллельная основаниям, делит пирамиду па две усеченные пирамиды, в каждую из которых можно вписать сферу, то
$S = (\sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}})(\sqrt[4]{S_{1}} + \sqrt[4]{S_{2}})^{2}$.
Решение:
Пусть большее основание $M_{1}$ исходной усеченной пирамиды имеет площадь $S_{1}$, меньшее основание $M_{2}$ - площадь $S_{2}$, а общее основание $M_{0}$ двух усеченных пирамид, составляющих исходную, - площадь $S_{0}$. Продолжим боковые ребра пирамиды до их пересечения в точке $T$ и обозначим через $P_{1}, P_{2}$ и $P_{0}$ пирамиды с вершиной $T$ и основаниями $M_{1}, M_{2}$ и $M_{0}$ соответственно (рис.). Гомотетия относительно точки $T$, переводящая основание $M_{1}$ в основание $M_{0}$, переводит сферу, вписанную в пирамиду $P_{1}$, в сферу, вписанную в пирамиду $P_{0}$, в значит, переводит основание $M_{0}$ в основание и сферу, вписанную в пирамиду $P_{0}$, в сферу, вписанную в пирамиду $P_{2}$. Поэтому для радиусов $R_{1}, R_{2}, R_{0}$ вписанных сфер и площадей $Q_{1}, Q_{2}, Q_{0}$ боковых поверхностей пирамид $P_{1}, P_{2}, P_{0}$ соответственно имеем пропорции
$\frac{R_{0}}{R_{1}} = \frac{R_{2}}{R_{0}}, \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{R^{2}_{2}}{R^{2}_{1}}$.
Объем пирамиды $P_{2}$ равен, с одной стороны, $(1/3) R_{2}(Q_{2} + S_{2})$, а с другой стороны, $(1/3)R_{0} (Q_{2} – S_{2})$ (ибо сфера радиуса $R_{0}$ вневписана по отношению к пирамиде $P_{2}$), поэтому
$R_{2}(Q_{2} + S_{2}) = R_{0} (Q_{2} – S_{2})$,
откуда
$\frac{Q_{2} – S_{2}}{Q_{2} + S_{2}} = \frac{R_{2}}{R_{0}} = \frac{R_{2}}{\sqrt{R_{1}R_{2}}} = \frac{\sqrt{R_{2}}}{\sqrt{R_{1}}} = \frac{\sqrt[4]{S_{2}}}{\sqrt[4]{S_{1}}}$
и
$(Q_{2} – S_{2}) \sqrt[4]{S_{1}} = (Q_{2} + S_{2}) \sqrt[4]{S_{2}}$
Следовательно, получаем
$\frac{Q_{2}}{S_{2}} = \frac{\sqrt[4]{S_{1}} + \sqrt[4]{S_{2}}}{\sqrt[4]{S_{1}} - \sqrt[4]{S_{2}}}$
и, наконец,
$S = Q_{1} – Q_{2} = \frac{Q_{2}}{S_{2}} (S_{1} – S_{2}) = \frac{\sqrt[4]{S_{1}} + \sqrt[4]{S_{2}}}{\sqrt[4]{S_{1}} - \sqrt[4]{S_{2}}} (S_{1} – S_{2}) =$
$= (\sqrt{S_{1}} - \sqrt{S_{2}})(\sqrt[4]{S_{1}} + \sqrt[4]{S_{2}})^{2}$,
что и требовалось доказать.
Площади оснований усеченной пирамиды равны $S_{1}$ и $S_{2}$, а площадь боковой поверхности равна $S$. Доказать, что если некоторая плоскость, параллельная основаниям, делит пирамиду па две усеченные пирамиды, в каждую из которых можно вписать сферу, то
$S = (\sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}})(\sqrt[4]{S_{1}} + \sqrt[4]{S_{2}})^{2}$.
Решение:
Пусть большее основание $M_{1}$ исходной усеченной пирамиды имеет площадь $S_{1}$, меньшее основание $M_{2}$ - площадь $S_{2}$, а общее основание $M_{0}$ двух усеченных пирамид, составляющих исходную, - площадь $S_{0}$. Продолжим боковые ребра пирамиды до их пересечения в точке $T$ и обозначим через $P_{1}, P_{2}$ и $P_{0}$ пирамиды с вершиной $T$ и основаниями $M_{1}, M_{2}$ и $M_{0}$ соответственно (рис.). Гомотетия относительно точки $T$, переводящая основание $M_{1}$ в основание $M_{0}$, переводит сферу, вписанную в пирамиду $P_{1}$, в сферу, вписанную в пирамиду $P_{0}$, в значит, переводит основание $M_{0}$ в основание и сферу, вписанную в пирамиду $P_{0}$, в сферу, вписанную в пирамиду $P_{2}$. Поэтому для радиусов $R_{1}, R_{2}, R_{0}$ вписанных сфер и площадей $Q_{1}, Q_{2}, Q_{0}$ боковых поверхностей пирамид $P_{1}, P_{2}, P_{0}$ соответственно имеем пропорции
$\frac{R_{0}}{R_{1}} = \frac{R_{2}}{R_{0}}, \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{R^{2}_{2}}{R^{2}_{1}}$.
Объем пирамиды $P_{2}$ равен, с одной стороны, $(1/3) R_{2}(Q_{2} + S_{2})$, а с другой стороны, $(1/3)R_{0} (Q_{2} – S_{2})$ (ибо сфера радиуса $R_{0}$ вневписана по отношению к пирамиде $P_{2}$), поэтому
$R_{2}(Q_{2} + S_{2}) = R_{0} (Q_{2} – S_{2})$,
откуда
$\frac{Q_{2} – S_{2}}{Q_{2} + S_{2}} = \frac{R_{2}}{R_{0}} = \frac{R_{2}}{\sqrt{R_{1}R_{2}}} = \frac{\sqrt{R_{2}}}{\sqrt{R_{1}}} = \frac{\sqrt[4]{S_{2}}}{\sqrt[4]{S_{1}}}$
и
$(Q_{2} – S_{2}) \sqrt[4]{S_{1}} = (Q_{2} + S_{2}) \sqrt[4]{S_{2}}$
Следовательно, получаем
$\frac{Q_{2}}{S_{2}} = \frac{\sqrt[4]{S_{1}} + \sqrt[4]{S_{2}}}{\sqrt[4]{S_{1}} - \sqrt[4]{S_{2}}}$
и, наконец,
$S = Q_{1} – Q_{2} = \frac{Q_{2}}{S_{2}} (S_{1} – S_{2}) = \frac{\sqrt[4]{S_{1}} + \sqrt[4]{S_{2}}}{\sqrt[4]{S_{1}} - \sqrt[4]{S_{2}}} (S_{1} – S_{2}) =$
$= (\sqrt{S_{1}} - \sqrt{S_{2}})(\sqrt[4]{S_{1}} + \sqrt[4]{S_{2}})^{2}$,
что и требовалось доказать.
