Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3319
2019-06-02 
В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.
Решение:
Разобьем данные 23 числа на семь групп из стоящих подряд чисел: три группы по пять чисел и четыре группы по два числа (в каком порядке эти группы расположены - неважно). Каждую группу заключим в скобки, а между группами расставим знаки умножения. Если расставить знаки внутри каждой группы так, чтобы результат операций в группе из двух чисел делился на 2, а в группе из пяти чисел - на 5, то все выражение будет делиться на $2^4 \cdot 5^3 = 2000$.
Покажем, что такая расстановка знаков в группах существует. Рассмотрим, сначала, какую-нибудь группу из двух чисел. Если числа в группе из двух чисел разной четности, то между ними нужно поставить знак умножения, если одинаковой четности - сложения. Результат, очевидно, будет делиться на 2.
Теперь рассмотрим группу чисел $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$, идущих именно в таком порядке. Выпишем остатки от деления на 5 следующих пяти сумм:
$a_1, a_1 + a_2, a_1 + a_2 + a_3, a_1 + a_2 + a_3 + a_4, a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$.
Если один из остатков равен 0, то соответствующая сумма делится на 5. В этом случае нужно расставить знаки сложения между числами, входящими в эту сумму, саму сумму (если требуется) заключить в скобки, а все оставшиеся промежутки между числами группы заполнить знаками умножения. Если же ни один из остатков нулю не равен, то, согласно принципу Дирихле, среди них найдутся два одинаковых остатка (так как сумм - пять, а ненулевых остатков - всего четыре). Пусть, например, суммы $a_1 + \cdots + a_i$ и $a_1 + \cdots + a_j (i < j)$ дают одинаковые остатки при делении на 5. Тогда их разность, представляющая собой сумму подряд стоящих чисел $a_{i+1} + \cdots + a_j$, делится на пять, и мы опять расставляем знаки сложения, заключаем эту сумму в скобки, а оставшиеся позиции заполняем знаками умножения. Приведем два примера:
$(1 + 2 + 3 + 4)-3 = 30, 2 \cdot (1 + 4) - 7 \cdot 1 = 70$.
Значит, в любом случае нам удастся расставить знаки в группе из пяти чисел так, чтобы результат делился на 5.
В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.
Решение:
Разобьем данные 23 числа на семь групп из стоящих подряд чисел: три группы по пять чисел и четыре группы по два числа (в каком порядке эти группы расположены - неважно). Каждую группу заключим в скобки, а между группами расставим знаки умножения. Если расставить знаки внутри каждой группы так, чтобы результат операций в группе из двух чисел делился на 2, а в группе из пяти чисел - на 5, то все выражение будет делиться на $2^4 \cdot 5^3 = 2000$.
Покажем, что такая расстановка знаков в группах существует. Рассмотрим, сначала, какую-нибудь группу из двух чисел. Если числа в группе из двух чисел разной четности, то между ними нужно поставить знак умножения, если одинаковой четности - сложения. Результат, очевидно, будет делиться на 2.
Теперь рассмотрим группу чисел $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$, идущих именно в таком порядке. Выпишем остатки от деления на 5 следующих пяти сумм:
$a_1, a_1 + a_2, a_1 + a_2 + a_3, a_1 + a_2 + a_3 + a_4, a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$.
Если один из остатков равен 0, то соответствующая сумма делится на 5. В этом случае нужно расставить знаки сложения между числами, входящими в эту сумму, саму сумму (если требуется) заключить в скобки, а все оставшиеся промежутки между числами группы заполнить знаками умножения. Если же ни один из остатков нулю не равен, то, согласно принципу Дирихле, среди них найдутся два одинаковых остатка (так как сумм - пять, а ненулевых остатков - всего четыре). Пусть, например, суммы $a_1 + \cdots + a_i$ и $a_1 + \cdots + a_j (i < j)$ дают одинаковые остатки при делении на 5. Тогда их разность, представляющая собой сумму подряд стоящих чисел $a_{i+1} + \cdots + a_j$, делится на пять, и мы опять расставляем знаки сложения, заключаем эту сумму в скобки, а оставшиеся позиции заполняем знаками умножения. Приведем два примера:
$(1 + 2 + 3 + 4)-3 = 30, 2 \cdot (1 + 4) - 7 \cdot 1 = 70$.
Значит, в любом случае нам удастся расставить знаки в группе из пяти чисел так, чтобы результат делился на 5.
