Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3318
2019-06-02 
Решите уравнение
$(x +1)^{63} + (x +1)^{62} (x - 1) + (x + 1)^{61}(x -1)^2 + \cdots + (x - 1)^{63} = 0$.
Решение:
Умножим обе части уравнения на $(x + 1) - (x - 1) = 2$. Тогда оно преобразуется к виду
$(x + 1)^{64} - (x - 1)^{64} = 0$. (1)
Это следует из формулы
$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})$,
примененной к $a = x + 1$, $b = x - 1, n = 64$.
Уравнение (1) легко решается:
$(x + 1)^{64} = (x - 1)^{64} \Leftrightarrow | x + 1| = | x - 1|$,
поскольку $x + 1 \neq x - 1$, получаем $x + 1 = -(x - 1)$, откуда $x = 0$.
Ответ: $x = 0$.
Решите уравнение
$(x +1)^{63} + (x +1)^{62} (x - 1) + (x + 1)^{61}(x -1)^2 + \cdots + (x - 1)^{63} = 0$.
Решение:
Умножим обе части уравнения на $(x + 1) - (x - 1) = 2$. Тогда оно преобразуется к виду
$(x + 1)^{64} - (x - 1)^{64} = 0$. (1)
Это следует из формулы
$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})$,
примененной к $a = x + 1$, $b = x - 1, n = 64$.
Уравнение (1) легко решается:
$(x + 1)^{64} = (x - 1)^{64} \Leftrightarrow | x + 1| = | x - 1|$,
поскольку $x + 1 \neq x - 1$, получаем $x + 1 = -(x - 1)$, откуда $x = 0$.
Ответ: $x = 0$.
