Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3315
2019-06-02 
В треугольнике $ABC$ длина медианы $BM$ равна длине стороны $AC$. На продолжениях сторон $BA$ и $AC$ выбраны точки $D$ и $E$ соответственно так, что выполняются равенства $AD = AB$ и $CE = CM$ (рис.). Докажите, что прямые $DM$ и $BE$ перпендикулярны.
Решение:
Обозначим $CM = a$ (рис.). Пусть $K$ - точка, симметричная $M$ относительно точки $A$. Тогда $KM = MB = ME = 2a$. Поэтому треугольник $KBE$ прямоугольный: $KB \perp BE$.
Четырехугольник $DKBM$ - параллелограмм, так как его диагонали делятся в точке пересечения пополам. Значит, $DM \parallel KB$. Следовательно, $DM \perp BE$.
В треугольнике $ABC$ длина медианы $BM$ равна длине стороны $AC$. На продолжениях сторон $BA$ и $AC$ выбраны точки $D$ и $E$ соответственно так, что выполняются равенства $AD = AB$ и $CE = CM$ (рис.). Докажите, что прямые $DM$ и $BE$ перпендикулярны.
Решение:
Обозначим $CM = a$ (рис.). Пусть $K$ - точка, симметричная $M$ относительно точки $A$. Тогда $KM = MB = ME = 2a$. Поэтому треугольник $KBE$ прямоугольный: $KB \perp BE$.
Четырехугольник $DKBM$ - параллелограмм, так как его диагонали делятся в точке пересечения пополам. Значит, $DM \parallel KB$. Следовательно, $DM \perp BE$.
