Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3310
2019-06-02 
Решите в натуральных числах уравнение $(1 + n^k)^l = 1 + n^m$, где $l > 1$.
Решение:
Первый способ. Пусть $p$ - простой делитель числа $l$. Поскольку $n^m = (1 + n^k)^1 - 1$, то $n^m$ делится на $(1 + n^k)^p - 1$. Но, в силу бинома Ньютона,
$(1 + n^k)^p - 1 = n^k \cdot p + n^2k \cdot \frac{p(p-1)}{2} + n^3k \cdot r$,
где $r$ - неотрицательное целое число. Разделив это выражение на $n^k$, получим, что $n^m$ делится на
$p + n^k \cdot \frac{p(p-1)}{2} + n^{2k} \cdot r$.
Если $n$ не делится на $p$, то это выражение взаимно просто с $n$, и $n^m$ не может на него делиться. Значит, $p$ - делитель числа $n$. Тогда
$1 + n^k \cdot \frac{p -1}{2} + \frac{n^{2k}}{p} \cdot r$
- натуральное число, большее единицы. Если $k > 1$ или $p$ нечетно, то второе слагаемое делится на $n$ (третье слагаемое делится на $n$ всегда), значит, сумма взаимно проста с $n$, так что $n^m$ не может на нее делиться. Полученное противоречие показывает, что $k = 1$ и $p = 2$. Поэтому 2 - единственный простой делитель числа $l$, так что $l$ имеет вид $2^s$.
Воспользуемся снова биномом Ньютона:
$n^m = (1 + n^k)^l - 1 = (1 + n)^l - 1 = ln + \frac{l(l-1)}{2} n^2 + \cdots + n^l$.
В правой части все члены, начиная со второго, делятся на $n^2$. Из этого, поскольку $m > 1$, следует, что l делится на $n$. Значит, $n$, как и $l$, является степенью двойки.
Так как $2 | l, (1 + n)^l - 1$ делится на $(1 + n)^2 - 1 = n(n + 2)$. Так как $n^m$ представляет собой степень двойки, $n + 2$ также является степенью двойки. Таким образом, $n$ и $n + 2$ - степени двойки, следовательно, $n = 2$.
Если $l \geq 4$, то $(1 + n)^l - 1$ делится на $(1 + n)^4 - 1 = 80$, и не может быть степенью двойки. Значит, $l = 2$, откуда $m = 3$.
Идея другого способа. Так как $1 + n^m$ делится на $1 + n^k$, то (при $n \neq 1$) $m$ делится на $k$ (см. факт 8). Поэтому, заменяя $n^k$ на $n$, а $m/k$ на $m$, сводим все к случаю $k = 1$.
Пусть $n$ делится на $p^t$, но не на $p^{t+1}$, где $p$ - простое число ($t > 0$). Пусть $p^s$ - наибольшая степень $p$, которая делит $l$. Теперь запишем бином Ньютона:
$ln + C_l^2n^2 + \cdots + n^l = n^m$.
Пусть $p \neq 2$ или $t > 1$. Можно показать, что правая часть и все слагаемые, кроме первого, делятся на $p^{t+s+1}$. Полученное противоречие показывает, что $n = 2$.
Ответ: Единственное решение уравнения: $n = 2, k = 1, l = 2, m = 3$.
Решите в натуральных числах уравнение $(1 + n^k)^l = 1 + n^m$, где $l > 1$.
Решение:
Первый способ. Пусть $p$ - простой делитель числа $l$. Поскольку $n^m = (1 + n^k)^1 - 1$, то $n^m$ делится на $(1 + n^k)^p - 1$. Но, в силу бинома Ньютона,
$(1 + n^k)^p - 1 = n^k \cdot p + n^2k \cdot \frac{p(p-1)}{2} + n^3k \cdot r$,
где $r$ - неотрицательное целое число. Разделив это выражение на $n^k$, получим, что $n^m$ делится на
$p + n^k \cdot \frac{p(p-1)}{2} + n^{2k} \cdot r$.
Если $n$ не делится на $p$, то это выражение взаимно просто с $n$, и $n^m$ не может на него делиться. Значит, $p$ - делитель числа $n$. Тогда
$1 + n^k \cdot \frac{p -1}{2} + \frac{n^{2k}}{p} \cdot r$
- натуральное число, большее единицы. Если $k > 1$ или $p$ нечетно, то второе слагаемое делится на $n$ (третье слагаемое делится на $n$ всегда), значит, сумма взаимно проста с $n$, так что $n^m$ не может на нее делиться. Полученное противоречие показывает, что $k = 1$ и $p = 2$. Поэтому 2 - единственный простой делитель числа $l$, так что $l$ имеет вид $2^s$.
Воспользуемся снова биномом Ньютона:
$n^m = (1 + n^k)^l - 1 = (1 + n)^l - 1 = ln + \frac{l(l-1)}{2} n^2 + \cdots + n^l$.
В правой части все члены, начиная со второго, делятся на $n^2$. Из этого, поскольку $m > 1$, следует, что l делится на $n$. Значит, $n$, как и $l$, является степенью двойки.
Так как $2 | l, (1 + n)^l - 1$ делится на $(1 + n)^2 - 1 = n(n + 2)$. Так как $n^m$ представляет собой степень двойки, $n + 2$ также является степенью двойки. Таким образом, $n$ и $n + 2$ - степени двойки, следовательно, $n = 2$.
Если $l \geq 4$, то $(1 + n)^l - 1$ делится на $(1 + n)^4 - 1 = 80$, и не может быть степенью двойки. Значит, $l = 2$, откуда $m = 3$.
Идея другого способа. Так как $1 + n^m$ делится на $1 + n^k$, то (при $n \neq 1$) $m$ делится на $k$ (см. факт 8). Поэтому, заменяя $n^k$ на $n$, а $m/k$ на $m$, сводим все к случаю $k = 1$.
Пусть $n$ делится на $p^t$, но не на $p^{t+1}$, где $p$ - простое число ($t > 0$). Пусть $p^s$ - наибольшая степень $p$, которая делит $l$. Теперь запишем бином Ньютона:
$ln + C_l^2n^2 + \cdots + n^l = n^m$.
Пусть $p \neq 2$ или $t > 1$. Можно показать, что правая часть и все слагаемые, кроме первого, делятся на $p^{t+s+1}$. Полученное противоречие показывает, что $n = 2$.
Ответ: Единственное решение уравнения: $n = 2, k = 1, l = 2, m = 3$.
