Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 331
2014-06-07 
Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. Плоскость $\alpha$ пересекает прямые AD, SA и SC в точках Р, Q, R соответственно так, что
$\frac{AP}{AD} = \frac{SQ}{SA} = \frac{RC}{SC}$
причем все три точки A, S и С либо одновременно принадлежат отрезкам PD, QA и SR соответственно, либо одновременно им не принадлежат. Точка N является серединой отрезка CD, а точка М на прямой SB расположена так, что прямая MN параллельна плоскости $\alpha$. Доказать, что геометрическим местом точек М при всевозможных положениях плоскости $\alpha$ является некоторый отрезок длины $(\sqrt{2}/2) SB$.
Решение:
Обозначим
$\overrightarrow{SA} = \mathbf{a}, \overrightarrow{SB} = \mathbf{b}, \overrightarrow{SC} = \mathbf{c}$
(рис.), тогда
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \mathbf{c} - \mathbf{d}, \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AD} = \mathbf{a} + \mathbf{c} - \mathbf{b}$
и если
$\overrightarrow{SQ} = x \mathbf{a}$,
то
$\overrightarrow{SQ} = (1 - x)\mathbf{c}, \overrightarrow{SP} = \overrightarrow{SA} + x \overrightarrow{AD} = \mathbf{a} + x (\mathbf{c} - \mathbf{b})$,
$\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{SR} - \overrightarrow{SQ} = (1 - x) \mathbf{c} - x \mathbf{a}$,
$\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{SP} - \overrightarrow{SQ} = (1 - x) \mathbf{a} + x (\mathbf{c} - \mathbf{b})$,
причем векторы $\overrightarrow{QR}$ и $\overrightarrow{QP}$ не параллельны ни при каком значении $\mathbf{x}$ (что следует из их разложений но трем векторам $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$, не лежащим в одной плоскости). Так как точка М лежит в плоскости, проходящей через точку N параллельно плоскости $\alpha$, то для некоторых значений $\lambda$ и $\mu$ имеем
$\overrightarrow{SM} = \overrightarrow{SN} + \lambda \overrightarrow{QR} + \mu \overrightarrow{QP} =$
$= (1/2) (\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}) + \lambda ((1 - x)\mathbf{c} - x \mathbf{c}) + \mu ((1 - x)\mathbf{a} + x (\mathbf{c} - \mathbf{b})) =$
$= (1/2 - \lambda x + \mu (1 - x)) \mathbf{a} + (-1/2 - \mu x) \mathbf{b} + (1 + \lambda (1 - x) + \mu x) \mathbf{c}$.
Поэтому точка М лежит на прямой SB тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{SM} = y \mathbf{b}$, т. е,
$
\begin{cases}
1/2 – \lambda x + \mu (1 - x) = 0,& \\
1 + \lambda (1 - x) + \mu x = 0& \\
\end{cases}
$
Последняя система совместна при любом значении x:
$\mu = - \frac{x+1}{2(2x^{2} - 2x + 1)}, \lambda = \frac{3x - 2}{2(2x^{2} - 2x + 1)}$
(заметим, что $4x^{2} – 4x + 2 = (2x - 1)^{2} + 1 > 0$). Следовательно, искомые значения у и только они удовлетворяют равенству
$y = - \frac{1}{2} + \frac{x(x+1)}{2(2x^{2} – 2x + 1)}$
хотя бы при одном значении х. Иными словами, уравнение
$(4y + 1) x^{2} - (4y + 3) x + (2y + 1) =0$
разрешимо относительно х при искомых значениях у, т. е. при
$(4y + 3)^{2} – 4(4y +1)(2y + 1) = - 16y^{2} + 5 \geq 0$
(н том числе и при $4y - 1=0, 4y + 3 \neq 0$). Таким образом, искомые значения у заполняют отрезок $[- \sqrt{5}/4; \sqrt{5}/4]$.
Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. Плоскость $\alpha$ пересекает прямые AD, SA и SC в точках Р, Q, R соответственно так, что
$\frac{AP}{AD} = \frac{SQ}{SA} = \frac{RC}{SC}$
причем все три точки A, S и С либо одновременно принадлежат отрезкам PD, QA и SR соответственно, либо одновременно им не принадлежат. Точка N является серединой отрезка CD, а точка М на прямой SB расположена так, что прямая MN параллельна плоскости $\alpha$. Доказать, что геометрическим местом точек М при всевозможных положениях плоскости $\alpha$ является некоторый отрезок длины $(\sqrt{2}/2) SB$.
Решение:
Обозначим
$\overrightarrow{SA} = \mathbf{a}, \overrightarrow{SB} = \mathbf{b}, \overrightarrow{SC} = \mathbf{c}$
(рис.), тогда
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \mathbf{c} - \mathbf{d}, \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AD} = \mathbf{a} + \mathbf{c} - \mathbf{b}$
и если
$\overrightarrow{SQ} = x \mathbf{a}$,
то
$\overrightarrow{SQ} = (1 - x)\mathbf{c}, \overrightarrow{SP} = \overrightarrow{SA} + x \overrightarrow{AD} = \mathbf{a} + x (\mathbf{c} - \mathbf{b})$,
$\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{SR} - \overrightarrow{SQ} = (1 - x) \mathbf{c} - x \mathbf{a}$,
$\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{SP} - \overrightarrow{SQ} = (1 - x) \mathbf{a} + x (\mathbf{c} - \mathbf{b})$,
причем векторы $\overrightarrow{QR}$ и $\overrightarrow{QP}$ не параллельны ни при каком значении $\mathbf{x}$ (что следует из их разложений но трем векторам $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$, не лежащим в одной плоскости). Так как точка М лежит в плоскости, проходящей через точку N параллельно плоскости $\alpha$, то для некоторых значений $\lambda$ и $\mu$ имеем
$\overrightarrow{SM} = \overrightarrow{SN} + \lambda \overrightarrow{QR} + \mu \overrightarrow{QP} =$
$= (1/2) (\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}) + \lambda ((1 - x)\mathbf{c} - x \mathbf{c}) + \mu ((1 - x)\mathbf{a} + x (\mathbf{c} - \mathbf{b})) =$
$= (1/2 - \lambda x + \mu (1 - x)) \mathbf{a} + (-1/2 - \mu x) \mathbf{b} + (1 + \lambda (1 - x) + \mu x) \mathbf{c}$.
Поэтому точка М лежит на прямой SB тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{SM} = y \mathbf{b}$, т. е,
$
\begin{cases}
1/2 – \lambda x + \mu (1 - x) = 0,& \\
1 + \lambda (1 - x) + \mu x = 0& \\
\end{cases}
$
Последняя система совместна при любом значении x:
$\mu = - \frac{x+1}{2(2x^{2} - 2x + 1)}, \lambda = \frac{3x - 2}{2(2x^{2} - 2x + 1)}$
(заметим, что $4x^{2} – 4x + 2 = (2x - 1)^{2} + 1 > 0$). Следовательно, искомые значения у и только они удовлетворяют равенству
$y = - \frac{1}{2} + \frac{x(x+1)}{2(2x^{2} – 2x + 1)}$
хотя бы при одном значении х. Иными словами, уравнение
$(4y + 1) x^{2} - (4y + 3) x + (2y + 1) =0$
разрешимо относительно х при искомых значениях у, т. е. при
$(4y + 3)^{2} – 4(4y +1)(2y + 1) = - 16y^{2} + 5 \geq 0$
(н том числе и при $4y - 1=0, 4y + 3 \neq 0$). Таким образом, искомые значения у заполняют отрезок $[- \sqrt{5}/4; \sqrt{5}/4]$.
