Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3307
2019-06-02 
Грани правильного октаэдра раскрашены в белый и черный цвет. При этом любые две грани, имеющие общее ребро, покрашены в разные цвета. Докажите, что для любой точки внутри октаэдра сумма расстояний до плоскостей белых граней равна сумме расстояний до плоскостей черных граней.
Решение:
Первый способ. Плоскости, которым принадлежат грани каждого цвета, образуют равные правильные тетраэдры. Это можно представить следующим образом. Рассмотрим куб $ABCDEFGH$ (рис.) и два тетраэдра: $ACFH$ и $BDEG$. Пересечение этих тетраэдров есть октаэдр. Действительно, вершины пересечения есть середины граней куба, а середины граней куба являются вершинами октаэдра.
Черные грани октаэдра лежат на одном тетраэдре, а белые - на другом.
Утверждение задачи следует из того, что сумма расстояний от внутренней точки правильного тетраэдра до его граней постоянна и равна утроенному объему тетраэдра, деленному на площадь грани.
Докажем последнее утверждение. Пусть $A, B, C$ и $D$ - вершины тетраэдра, $O$ - точка внутри тетраэдра, $h_A, h_B, h_C$ и $h_D$ - расстояния от точки $O$ до плоскостей $BCD, ACD, ABD$ и $ABC$ соответственно. Пусть $S$ - площадь грани тетраэдра $ABCD$. Тогда объемы тетраэдров $BCDO, ACDO, ABDO$ и $ABCO$ равны $\frac{1}{3} Sh_A, \frac{1}{3} Sh_B, \frac{1}{3} Sh_C$ и $\frac{1}{3} Sh_D$ соответственно. Поэтому объем тетраэдра $ABCD$ равен
$\frac{S}{3} (h_A + h_B + h_C + h_D)$,
откуда следует требуемое утверждение.
Второй способ (не совсем элементарный). Рассмотрим ориентированные расстояния от точки до плоскостей граней. Точнее говоря, если точка и октаэдр лежат по одну сторону от плоскости, то расстояние берется со знаком плюс, иначе - со знаком минус.
Докажем утверждение, более сильное, чем утверждение задачи:
Сумма ориентированных расстояний от любой точки до плоскостей черных граней равна сумме ориентированных расстояний от точки до плоскостей белых граней (даже если точка не лежит внутри октаэдра).
Ориентированное расстояние до плоскости представляет собой линейный функционал в пространстве. Значит, сумма расстояний до граней какого-нибудь цвета - тоже линейный функционал. Обозначим сумму расстояний от точки $X$ до белых граней через $l_w(X)$, а сумму расстояний до черных граней - через $l_b (X)$. Мы хотим доказать, что $l_b - l_w = 0$. Пусть это не так. Тогда множество нулей линейного функционала $l_b - l_w$ является плоскостью. Но нетрудно проверить, что он обращается в нуль во всех вершинах октаэдра. Противоречие. Значит, $l_b - l_w$ обращается в нуль тождественно.
Грани правильного октаэдра раскрашены в белый и черный цвет. При этом любые две грани, имеющие общее ребро, покрашены в разные цвета. Докажите, что для любой точки внутри октаэдра сумма расстояний до плоскостей белых граней равна сумме расстояний до плоскостей черных граней.
Решение:
Первый способ. Плоскости, которым принадлежат грани каждого цвета, образуют равные правильные тетраэдры. Это можно представить следующим образом. Рассмотрим куб $ABCDEFGH$ (рис.) и два тетраэдра: $ACFH$ и $BDEG$. Пересечение этих тетраэдров есть октаэдр. Действительно, вершины пересечения есть середины граней куба, а середины граней куба являются вершинами октаэдра.
Черные грани октаэдра лежат на одном тетраэдре, а белые - на другом.
Утверждение задачи следует из того, что сумма расстояний от внутренней точки правильного тетраэдра до его граней постоянна и равна утроенному объему тетраэдра, деленному на площадь грани.
Докажем последнее утверждение. Пусть $A, B, C$ и $D$ - вершины тетраэдра, $O$ - точка внутри тетраэдра, $h_A, h_B, h_C$ и $h_D$ - расстояния от точки $O$ до плоскостей $BCD, ACD, ABD$ и $ABC$ соответственно. Пусть $S$ - площадь грани тетраэдра $ABCD$. Тогда объемы тетраэдров $BCDO, ACDO, ABDO$ и $ABCO$ равны $\frac{1}{3} Sh_A, \frac{1}{3} Sh_B, \frac{1}{3} Sh_C$ и $\frac{1}{3} Sh_D$ соответственно. Поэтому объем тетраэдра $ABCD$ равен
$\frac{S}{3} (h_A + h_B + h_C + h_D)$,
откуда следует требуемое утверждение.
Второй способ (не совсем элементарный). Рассмотрим ориентированные расстояния от точки до плоскостей граней. Точнее говоря, если точка и октаэдр лежат по одну сторону от плоскости, то расстояние берется со знаком плюс, иначе - со знаком минус.
Докажем утверждение, более сильное, чем утверждение задачи:
Сумма ориентированных расстояний от любой точки до плоскостей черных граней равна сумме ориентированных расстояний от точки до плоскостей белых граней (даже если точка не лежит внутри октаэдра).
Ориентированное расстояние до плоскости представляет собой линейный функционал в пространстве. Значит, сумма расстояний до граней какого-нибудь цвета - тоже линейный функционал. Обозначим сумму расстояний от точки $X$ до белых граней через $l_w(X)$, а сумму расстояний до черных граней - через $l_b (X)$. Мы хотим доказать, что $l_b - l_w = 0$. Пусть это не так. Тогда множество нулей линейного функционала $l_b - l_w$ является плоскостью. Но нетрудно проверить, что он обращается в нуль во всех вершинах октаэдра. Противоречие. Значит, $l_b - l_w$ обращается в нуль тождественно.
