Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3306
2019-06-02 
Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками $AB$ и $AC$ и дугой $BC$ некоторой окружности (рис.). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) ее площадь.
Решение:
а) Нетрудно построить середину ломаной $BAC$, т. е. точку, которая делит ломаную на две ломаных равной длины. Осталось провести прямую через эту точку и середину дуги.
б) Пусть $D$ - середина дуги (рис.). Сегменты, опирающиеся на хорды $BD$ и $DC$, равны. Поэтому достаточно провести через точку $D$ прямую, которая делит пополам площадь четырехугольника $ABDC$.
Пусть точка $F$ - середина диагонали $BC$. Проведем через точку $F$ прямую $l$, параллельную диагонали $AD$. Пусть прямая $l$ пересекает отрезок $AC$ (случай пересечения прямой $l$ с отрезком $AB$ рассматривается аналогично). Обозначим $E = l \cup AC$; прямая $DE$ - искомая.
Действительно, сумма площадей треугольников $ABF$ и $BDF$ равна половине площади четырехугольника $ABDC$. Нам достаточно доказать, что площадь треугольника $AED$ равна площади треугольника $AFD$, но эти треугольники имеют общее основание и равные высоты.
Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками $AB$ и $AC$ и дугой $BC$ некоторой окружности (рис.). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) ее площадь.
Решение:
а) Нетрудно построить середину ломаной $BAC$, т. е. точку, которая делит ломаную на две ломаных равной длины. Осталось провести прямую через эту точку и середину дуги.
б) Пусть $D$ - середина дуги (рис.). Сегменты, опирающиеся на хорды $BD$ и $DC$, равны. Поэтому достаточно провести через точку $D$ прямую, которая делит пополам площадь четырехугольника $ABDC$.
Пусть точка $F$ - середина диагонали $BC$. Проведем через точку $F$ прямую $l$, параллельную диагонали $AD$. Пусть прямая $l$ пересекает отрезок $AC$ (случай пересечения прямой $l$ с отрезком $AB$ рассматривается аналогично). Обозначим $E = l \cup AC$; прямая $DE$ - искомая.
Действительно, сумма площадей треугольников $ABF$ и $BDF$ равна половине площади четырехугольника $ABDC$. Нам достаточно доказать, что площадь треугольника $AED$ равна площади треугольника $AFD$, но эти треугольники имеют общее основание и равные высоты.
