Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3305
2019-06-02 
$a, b, c$ - стороны треугольника. Докажите неравенство
$\frac {a^2 + 2bc}{b^2 + c^2} + \frac {b^2 + 2ac}{c^2 + a^2} + \frac {c^2 + 2ab}{a^2 + b^2} > 3$.
Решение:
Из неравенства треугольника $a > | b - c |$. Возводя обе части в квадрат, получаем: $a > (b - c)^2$. Отсюда следует, что $a^2 + 2bc > b^2 + c^2$. Правая часть положительна, значит, на нее можно разделить. Получаем, что первое слагаемое в условии задачи больше 1. То же верно для двух других слагаемых. Поэтому их сумма больше 3.
$a, b, c$ - стороны треугольника. Докажите неравенство
$\frac {a^2 + 2bc}{b^2 + c^2} + \frac {b^2 + 2ac}{c^2 + a^2} + \frac {c^2 + 2ab}{a^2 + b^2} > 3$.
Решение:
Из неравенства треугольника $a > | b - c |$. Возводя обе части в квадрат, получаем: $a > (b - c)^2$. Отсюда следует, что $a^2 + 2bc > b^2 + c^2$. Правая часть положительна, значит, на нее можно разделить. Получаем, что первое слагаемое в условии задачи больше 1. То же верно для двух других слагаемых. Поэтому их сумма больше 3.
