Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3303
2019-06-02 
Кузнечик прыгает по отрезку $[0; 1]$. За один прыжок он может попасть из точки $x$ либо в точку $\frac{ x}{ \sqrt{3}}$, либо в точку $\frac{x}{ \sqrt{3}} + \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{3}} \right )$. На отрезке $[0; 1]$ выбрана точка $a$. Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько прыжков оказаться на расстоянии меньше $\frac{1}{100}$ от точки $a$.
Решение:
Пусть
$f, g: [0; 1] \rightarrow [0; 1], f(x) = \frac{x}{ \sqrt{3}}, g(x) = \frac{x}{ \sqrt{3}} + \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{3}} \right )$,
- функции, отвечающие прыжкам кузнечика. Область значений функции $f$ - отрезок $[0; 1/ \sqrt{3}]$, область значений функции $g$ - отрезок $[1 - 1/\sqrt{3}; 1]$. Каждый из этих отрезков имеет длину $1 / \sqrt{3}$, и вместе они покрывают отрезок $[0; 1]$.
Пусть $n$ - некоторое натуральное число. Рассмотрим всевозможные композиции функций вида
$h_1 (h_2 (\cdots (h_n(x)) \cdots)): [0; 1] \rightarrow [0; 1]$,
где каждая функция $h_i$ - либо $f$, либо $g$. Легко ви¬деть, что область значений каждой из этих функций есть отрезок длины $(1/\sqrt{3})^{n}$. Докажем индукцией по $n$, что эти отрезки покрывают весь отрезок $[0; 1]$. Для $n = 1$ это утверждение уже проверено. Предположим, что области значений всевозможных функций $h_1 (h_2(\cdots (h_{k-1}(x)) \cdots))$ покрывают отрезок $[0; 1]$. Фиксируем одну из этих функций $h_1(h_2(\cdots (h_{k-1}(x)) \cdots ))$. Ясно, что область значений этой функции покрывается областями значений функций $h_1 (h_2 (\cdots (h_{k-1}(f(x))) \cdots ))$ и $h_1 (h_2(\cdots (h_{k-1}(g(x))) \cdots ))$. Тем самым нужное утверждение доказано.
Пусть теперь на отрезке $[0; 1]$ выбрана точка $a$. Рассмотрим интервал ($a - 0,01; a + 0,01$) и покажем, что кузнечик сможет в него попасть. Выберем $n$ столь большим, чтобы было выполнено неравенство $(1/\sqrt{3})^n < 0,01$ (например, годится $n = 10$). По доказанному, можно выбрать такую функцию $_h1(h_2 (\cdots (h_n(x))\cdots))$, что точка $a$ принадлежит области ее значений. Тогда вся область значений рассматриваемой функции (отрезок длины $(1/\sqrt 3)^n$) лежит внутри интервала ($a - 0,01; a + 0,01$). Это означает, что из любой точки отрезка $[0; 1]$ кузнечик попадет внутрь интервала ($a - 0,01; a + 0,01$), выполнив последовательно прыжки, соответствующие функциям $h_n, h_{n-1}, \cdots, h_1$.
Кузнечик прыгает по отрезку $[0; 1]$. За один прыжок он может попасть из точки $x$ либо в точку $\frac{ x}{ \sqrt{3}}$, либо в точку $\frac{x}{ \sqrt{3}} + \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{3}} \right )$. На отрезке $[0; 1]$ выбрана точка $a$. Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько прыжков оказаться на расстоянии меньше $\frac{1}{100}$ от точки $a$.
Решение:
Пусть
$f, g: [0; 1] \rightarrow [0; 1], f(x) = \frac{x}{ \sqrt{3}}, g(x) = \frac{x}{ \sqrt{3}} + \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{3}} \right )$,
- функции, отвечающие прыжкам кузнечика. Область значений функции $f$ - отрезок $[0; 1/ \sqrt{3}]$, область значений функции $g$ - отрезок $[1 - 1/\sqrt{3}; 1]$. Каждый из этих отрезков имеет длину $1 / \sqrt{3}$, и вместе они покрывают отрезок $[0; 1]$.
Пусть $n$ - некоторое натуральное число. Рассмотрим всевозможные композиции функций вида
$h_1 (h_2 (\cdots (h_n(x)) \cdots)): [0; 1] \rightarrow [0; 1]$,
где каждая функция $h_i$ - либо $f$, либо $g$. Легко ви¬деть, что область значений каждой из этих функций есть отрезок длины $(1/\sqrt{3})^{n}$. Докажем индукцией по $n$, что эти отрезки покрывают весь отрезок $[0; 1]$. Для $n = 1$ это утверждение уже проверено. Предположим, что области значений всевозможных функций $h_1 (h_2(\cdots (h_{k-1}(x)) \cdots))$ покрывают отрезок $[0; 1]$. Фиксируем одну из этих функций $h_1(h_2(\cdots (h_{k-1}(x)) \cdots ))$. Ясно, что область значений этой функции покрывается областями значений функций $h_1 (h_2 (\cdots (h_{k-1}(f(x))) \cdots ))$ и $h_1 (h_2(\cdots (h_{k-1}(g(x))) \cdots ))$. Тем самым нужное утверждение доказано.
Пусть теперь на отрезке $[0; 1]$ выбрана точка $a$. Рассмотрим интервал ($a - 0,01; a + 0,01$) и покажем, что кузнечик сможет в него попасть. Выберем $n$ столь большим, чтобы было выполнено неравенство $(1/\sqrt{3})^n < 0,01$ (например, годится $n = 10$). По доказанному, можно выбрать такую функцию $_h1(h_2 (\cdots (h_n(x))\cdots))$, что точка $a$ принадлежит области ее значений. Тогда вся область значений рассматриваемой функции (отрезок длины $(1/\sqrt 3)^n$) лежит внутри интервала ($a - 0,01; a + 0,01$). Это означает, что из любой точки отрезка $[0; 1]$ кузнечик попадет внутрь интервала ($a - 0,01; a + 0,01$), выполнив последовательно прыжки, соответствующие функциям $h_n, h_{n-1}, \cdots, h_1$.
