Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 330
2014-06-07 
Доказать, что если в пирамиде с равными боковыми ребрами любые соседние боковые грани образуют равные двугранные углы, а основанием служит многоугольник с нечетным числом сторон, то этот многоугольник правильный.
Решение:
Из равенства боковых ребер пирамиды $SA_{1} \cdots A_{n}$ следует, что проекция О вершины $S$ на основание пирамиды равноудалена от вершин $A_{1}, \cdots, A_{n}$, т.е. является центром окружности, описанной около многоугольника $A_{1} \cdots A_{n}$. Поскольку при каждом значении $k = 1, \cdots, n$ пирамида $SOA_{k}A_{k+1}$ (где $A_{n+1} = A_{1}$) симметрична относительно биссектральной плоскости двугранного угла при ребре $SO$, то ее двугранные углы при ребрах $SA_{k}$ и $SA_{k+1}$ равны одному и тому же числу $\phi_{k}$. Так как по условию
$\phi_{1} + \phi_{2} = \phi_{2} + \phi_{3} = \cdots = \phi_{n-1} + \phi_{n} = \phi_{n} + \phi_{1}$,
а число $n$ нечетно, то
$\phi_{1} = \phi_{3} = \cdots = \phi_{n} = \phi_{2} = \cdots = \phi_{n-1}$,
откуда вытекает равенство всех пирамид $SOA_{k}A_{k+1}$ (ибо любые две соседние пирамиды симметричны друг другу относительно их общей грани) и равенство всех углов $\angle A_{k}OA_{k+1}$. Таким образом, многоугольник $A_{1} \cdots A_{n}$ правильный.
Доказать, что если в пирамиде с равными боковыми ребрами любые соседние боковые грани образуют равные двугранные углы, а основанием служит многоугольник с нечетным числом сторон, то этот многоугольник правильный.
Решение:
Из равенства боковых ребер пирамиды $SA_{1} \cdots A_{n}$ следует, что проекция О вершины $S$ на основание пирамиды равноудалена от вершин $A_{1}, \cdots, A_{n}$, т.е. является центром окружности, описанной около многоугольника $A_{1} \cdots A_{n}$. Поскольку при каждом значении $k = 1, \cdots, n$ пирамида $SOA_{k}A_{k+1}$ (где $A_{n+1} = A_{1}$) симметрична относительно биссектральной плоскости двугранного угла при ребре $SO$, то ее двугранные углы при ребрах $SA_{k}$ и $SA_{k+1}$ равны одному и тому же числу $\phi_{k}$. Так как по условию
$\phi_{1} + \phi_{2} = \phi_{2} + \phi_{3} = \cdots = \phi_{n-1} + \phi_{n} = \phi_{n} + \phi_{1}$,
а число $n$ нечетно, то
$\phi_{1} = \phi_{3} = \cdots = \phi_{n} = \phi_{2} = \cdots = \phi_{n-1}$,
откуда вытекает равенство всех пирамид $SOA_{k}A_{k+1}$ (ибо любые две соседние пирамиды симметричны друг другу относительно их общей грани) и равенство всех углов $\angle A_{k}OA_{k+1}$. Таким образом, многоугольник $A_{1} \cdots A_{n}$ правильный.
