Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3299
2019-06-02 
Известно, что $(a + b + с)с < 0$. Докажите, что $b^2 > 4ac$.
Решение:
Первый способ. Если $а = 0$, то $b = 0$ (иначе $c < 0$). Поэтому $b^2 > 0 = 4ac$, и все доказано.
Если $а = 0$, то рассмотрим квадратный трехчлен $f(x) = ax^2 + bx + c$. Имеем $f(1) = a + b + c, f(0) = c$. По условию
$f(1)f(0) = (a + b + c)c < 0$.
Значит, среди чисел $f(1)$ и $f(0)$ одно отрицательно, а другое положительно. Поэтому парабола $y = f(x)$ пересекает ось $x$. Значит, дискриминант этого квадратного трехчлена положителен: $b^2 - 4ac > 0$.
Второй способ. Можно избежать рассмотрения двух случаев. Рассмотрим квадратный трехчлен $g(x) = х^2 + bx + ac$. Из условия следует, что $g(c) = c^2 + bc + ac = (a + b + c)c < 0$. Так как рога параболы $y = g(x)$ направлены вверх и $g(c) < 0$, эта парабола пересекает ось $O_x$ в двух точках, т. е. имеет два различных корня. Значит, дискриминант этого квадратного трехчлена положителен: $b^2 - 4ac > 0$.
Известно, что $(a + b + с)с < 0$. Докажите, что $b^2 > 4ac$.
Решение:
Первый способ. Если $а = 0$, то $b = 0$ (иначе $c < 0$). Поэтому $b^2 > 0 = 4ac$, и все доказано.
Если $а = 0$, то рассмотрим квадратный трехчлен $f(x) = ax^2 + bx + c$. Имеем $f(1) = a + b + c, f(0) = c$. По условию
$f(1)f(0) = (a + b + c)c < 0$.
Значит, среди чисел $f(1)$ и $f(0)$ одно отрицательно, а другое положительно. Поэтому парабола $y = f(x)$ пересекает ось $x$. Значит, дискриминант этого квадратного трехчлена положителен: $b^2 - 4ac > 0$.
Второй способ. Можно избежать рассмотрения двух случаев. Рассмотрим квадратный трехчлен $g(x) = х^2 + bx + ac$. Из условия следует, что $g(c) = c^2 + bc + ac = (a + b + c)c < 0$. Так как рога параболы $y = g(x)$ направлены вверх и $g(c) < 0$, эта парабола пересекает ось $O_x$ в двух точках, т. е. имеет два различных корня. Значит, дискриминант этого квадратного трехчлена положителен: $b^2 - 4ac > 0$.
