Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3297
2019-06-02 
Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC (AB > BC)$ в точках $P$ и $Q$ соответственно, $RS$ - средняя линия, параллельная $AB, T$ - точка пересечения прямых $PQ$ и $RS$. Докажите, что $T$ лежит на биссектрисе угла $B$ треугольника.
Решение:
Обозначим длины сторон $AB, BC$ и $AC$ через $c, a$ и $b$ соответственно. Пусть $p$ - полупериметр треугольника. Будем считать, что $R$ лежит на $AC, S$ - на $BC$ (рис.). Тогда
$RQ = |RC - QC| = \left | \frac{b}{2} - (p-c) \right | = \left | \frac{b}{2} - \frac{a+b-c}{2} \right | = \frac{c-a}{2}$.
Треугольники $PAQ$ и $TRQ$ подобны (так как $RS \parallel AB$), а треугольник $PAQ$ равнобедренный. Поэтому $RQ = RT$. Следовательно,
$ST = RS - RT = RS - RQ = \frac{c}{2} - \frac{c-a}{2} = \frac{a}{2} = BS$.
Значит, треугольник $TSB$ - равнобедренный, и $\angle SBT = \angle STB = \angle TBA$, так что $BT$ - биссектриса угла $B$ треугольника $ABC$.
Комментарий. Расстояние от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью равно $p - a$, где $p$ - полупериметр, $a$ - длина противоположной стороны.
Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC (AB > BC)$ в точках $P$ и $Q$ соответственно, $RS$ - средняя линия, параллельная $AB, T$ - точка пересечения прямых $PQ$ и $RS$. Докажите, что $T$ лежит на биссектрисе угла $B$ треугольника.
Решение:
Обозначим длины сторон $AB, BC$ и $AC$ через $c, a$ и $b$ соответственно. Пусть $p$ - полупериметр треугольника. Будем считать, что $R$ лежит на $AC, S$ - на $BC$ (рис.). Тогда
$RQ = |RC - QC| = \left | \frac{b}{2} - (p-c) \right | = \left | \frac{b}{2} - \frac{a+b-c}{2} \right | = \frac{c-a}{2}$.
Треугольники $PAQ$ и $TRQ$ подобны (так как $RS \parallel AB$), а треугольник $PAQ$ равнобедренный. Поэтому $RQ = RT$. Следовательно,
$ST = RS - RT = RS - RQ = \frac{c}{2} - \frac{c-a}{2} = \frac{a}{2} = BS$.
Значит, треугольник $TSB$ - равнобедренный, и $\angle SBT = \angle STB = \angle TBA$, так что $BT$ - биссектриса угла $B$ треугольника $ABC$.
Комментарий. Расстояние от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью равно $p - a$, где $p$ - полупериметр, $a$ - длина противоположной стороны.
