Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3296
2019-06-02 
Найдите все такие целые положительные $k$, что число
$\underbrace{1 \cdots 1 \overbrace{2 \cdots 2}_{k} }_{2000} - \underbrace{2 \cdots 2}_{1001}$
является квадратом целого числа.
Решение:
Обозначим $n = 1000$. Рассмотрим два случая.
1. $k > n$. Тогда
$\underbrace{1 \cdots 1 \overbrace{2 \cdots 2}_{k}}_{2n} - \underbrace{2 \cdots 2}_{n + 1} = \underbrace{1 \cdots 1}_{2n - k} \overbrace{2 \cdots 2}_{k - (n + 1)} \underbrace{0 \cdots 0}_{n + 1}$.
Это число заканчивается на $n + 1 = 1001$ нуль. Но если число является квадратом натурального числа, то оно заканчивается на четное число нулей! Значит, это число не может быть квадратом натурального числа.
2. $k \leq n$. Тогда
$\underbrace{1 \cdots 1 \overbrace{2 \cdots 2}_{k}}_{2n} - \underbrace{2 \cdots 2}_{n + 1} = \underbrace{1 \cdots 1}_{2n - k} \underbrace{0 \cdots 0}_{k} - \underbrace{2 \cdots 2}_{n + 1 - k} \underbrace{0 \cdots 0}_{k} = 10^k ( \underbrace{1 \cdots 1}_{2n - k} - \underbrace{2 \cdots 2}_{n + 1 -k} )$. (1)
Это число заканчивается на $k$ нулей. Как было объяснено выше, чтобы оно было квадратом натурального числа (в дальнейшем мы будем называть квадраты натуральных чисел точными квадратами) необходимо, чтобы $k$ было четно. Обозначим $l = \frac{k}{2}$.
Ясно, что число (1) является точным квадратом тогда и только тогда, когда точным квадратом является число
$A = \underbrace{1 \cdots 1}_{2n - 2l} - \underbrace{2 \cdots 2}_{n + 1 -2l}$.
Заметим, что
$A = \frac{1}{9} \cdot \underbrace{9 \cdots 9}_{2n - 2l} - \frac{2}{9} \cdot \underbrace{9 \cdots 9}_{n + 1 -2l} = \frac{1}{9}(10^{2n-2l} - 1 - 2(10^{n+1-2l} - 1))$
Обозначим $B = 9A$. Число $A$ является точным квадратом, тогда и только тогда, когда $B = 9A$ - точный квадрат. Запишем выражение для $B$ в следующей форме:
$B = 10^{2n-2l} - 2 \cdot 10^{n+1-2l} + 1 = (10^{n-l})^2 - 2 \cdot 10^{n-l} \cdot 10^{1-l} + 1$. (2)
При $l = 1$ правая часть (2) превращается в формулу квадрата разности:
$B = (10^{n-1})^2 - 2 \cdot 10^{n-1} + 1 = (10^{n-1} - 1)^2$.
Пусть $l > 1$.
Теперь заметим, что если $X = Y^2$ - квадрат натурального числа, то ближайший к $X$ полный квадрат (меньший $X$) - это $(Y - 1)^2 = Y^2 - 2Y + 1$. То есть если число $Z$ таково, что
$Y^2 - 2Y + 1 < Z < Y^2$,
то $Z$ не является полным квадратом.
Применим это замечание к числам $Y = 10^{n-l}$ и $Z = B$. Ясно, что $Z < Y^2$. Кроме того,
$Z = (10^{n-l})^2 - 2 \cdot 10^{n-l} \cdot 10^{1-l} + 1 > (10^{n-l})^2 - 2 \cdot 10^{n-l} + 1$.
Значит, в силу предыдущего замечания, это число не может быть точным квадратом, поэтому только $l = 1$ (и, значит, только $k = 2$) удовлетворяет условию.
Ответ: k = 2.
Найдите все такие целые положительные $k$, что число
$\underbrace{1 \cdots 1 \overbrace{2 \cdots 2}_{k} }_{2000} - \underbrace{2 \cdots 2}_{1001}$
является квадратом целого числа.
Решение:
Обозначим $n = 1000$. Рассмотрим два случая.
1. $k > n$. Тогда
$\underbrace{1 \cdots 1 \overbrace{2 \cdots 2}_{k}}_{2n} - \underbrace{2 \cdots 2}_{n + 1} = \underbrace{1 \cdots 1}_{2n - k} \overbrace{2 \cdots 2}_{k - (n + 1)} \underbrace{0 \cdots 0}_{n + 1}$.
Это число заканчивается на $n + 1 = 1001$ нуль. Но если число является квадратом натурального числа, то оно заканчивается на четное число нулей! Значит, это число не может быть квадратом натурального числа.
2. $k \leq n$. Тогда
$\underbrace{1 \cdots 1 \overbrace{2 \cdots 2}_{k}}_{2n} - \underbrace{2 \cdots 2}_{n + 1} = \underbrace{1 \cdots 1}_{2n - k} \underbrace{0 \cdots 0}_{k} - \underbrace{2 \cdots 2}_{n + 1 - k} \underbrace{0 \cdots 0}_{k} = 10^k ( \underbrace{1 \cdots 1}_{2n - k} - \underbrace{2 \cdots 2}_{n + 1 -k} )$. (1)
Это число заканчивается на $k$ нулей. Как было объяснено выше, чтобы оно было квадратом натурального числа (в дальнейшем мы будем называть квадраты натуральных чисел точными квадратами) необходимо, чтобы $k$ было четно. Обозначим $l = \frac{k}{2}$.
Ясно, что число (1) является точным квадратом тогда и только тогда, когда точным квадратом является число
$A = \underbrace{1 \cdots 1}_{2n - 2l} - \underbrace{2 \cdots 2}_{n + 1 -2l}$.
Заметим, что
$A = \frac{1}{9} \cdot \underbrace{9 \cdots 9}_{2n - 2l} - \frac{2}{9} \cdot \underbrace{9 \cdots 9}_{n + 1 -2l} = \frac{1}{9}(10^{2n-2l} - 1 - 2(10^{n+1-2l} - 1))$
Обозначим $B = 9A$. Число $A$ является точным квадратом, тогда и только тогда, когда $B = 9A$ - точный квадрат. Запишем выражение для $B$ в следующей форме:
$B = 10^{2n-2l} - 2 \cdot 10^{n+1-2l} + 1 = (10^{n-l})^2 - 2 \cdot 10^{n-l} \cdot 10^{1-l} + 1$. (2)
При $l = 1$ правая часть (2) превращается в формулу квадрата разности:
$B = (10^{n-1})^2 - 2 \cdot 10^{n-1} + 1 = (10^{n-1} - 1)^2$.
Пусть $l > 1$.
Теперь заметим, что если $X = Y^2$ - квадрат натурального числа, то ближайший к $X$ полный квадрат (меньший $X$) - это $(Y - 1)^2 = Y^2 - 2Y + 1$. То есть если число $Z$ таково, что
$Y^2 - 2Y + 1 < Z < Y^2$,
то $Z$ не является полным квадратом.
Применим это замечание к числам $Y = 10^{n-l}$ и $Z = B$. Ясно, что $Z < Y^2$. Кроме того,
$Z = (10^{n-l})^2 - 2 \cdot 10^{n-l} \cdot 10^{1-l} + 1 > (10^{n-l})^2 - 2 \cdot 10^{n-l} + 1$.
Значит, в силу предыдущего замечания, это число не может быть точным квадратом, поэтому только $l = 1$ (и, значит, только $k = 2$) удовлетворяет условию.
Ответ: k = 2.
