Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3291
2019-06-02 
В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $O$ - середина гипотенузы $AC$. На отрезке $AB$ взята точка $M$, а на отрезке $BC$ - точка $N$ так, что угол $MON$ - прямой. Докажите, что $AM^2 + CN^2 = MN^2$.
Решение:
Обозначим через $N^{ \prime}$ точку, симметричную точке $N$ относительно точки $O$ (рис.).
Треугольники $ONC$ и $ON^{ \prime}A$ равны по двум сторонам и углу между ними. Кроме того, угол $N^{ \prime}AM$ - прямой. Действительно,
$\angle N^{ \prime}AM = \angle N^{ \prime}AO + \angle MAO = \angle ACB + \angle BAC = 90^{\circ}$.
Тогда по теореме Пифагора
${AM}^2 + {CN}^2 = {AM}^2 + {AN^{ \prime}}^2 = {MN^{ \prime}}^2$.
Значит, осталось доказать, что $MN^{ \prime} = MN$. Это следует из того, что прямоугольные треугольники $N^{ \prime}OM$ и $NOM$ равны по двум катетам.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $O$ - середина гипотенузы $AC$. На отрезке $AB$ взята точка $M$, а на отрезке $BC$ - точка $N$ так, что угол $MON$ - прямой. Докажите, что $AM^2 + CN^2 = MN^2$.
Решение:
Обозначим через $N^{ \prime}$ точку, симметричную точке $N$ относительно точки $O$ (рис.).
Треугольники $ONC$ и $ON^{ \prime}A$ равны по двум сторонам и углу между ними. Кроме того, угол $N^{ \prime}AM$ - прямой. Действительно,
$\angle N^{ \prime}AM = \angle N^{ \prime}AO + \angle MAO = \angle ACB + \angle BAC = 90^{\circ}$.
Тогда по теореме Пифагора
${AM}^2 + {CN}^2 = {AM}^2 + {AN^{ \prime}}^2 = {MN^{ \prime}}^2$.
Значит, осталось доказать, что $MN^{ \prime} = MN$. Это следует из того, что прямоугольные треугольники $N^{ \prime}OM$ и $NOM$ равны по двум катетам.
