Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3288
2019-06-02 
Покажите, как любой четырехугольник разрезать на три трапеции (параллелограмм тоже можно считать трапецией).
Решение:
Решение изображено на рис. а-в. Однако, чтобы сделать его строгим, придется приложить некоторые усилия (впрочем, решение засчитывалось и при отсутствии строгого обоснования).
Пусть $ABCD$ - произвольный четырехугольник. Заметим, что у него найдутся два соседних внутренних угла, сумма которых не меньше $180^{\circ}$. Действительно, если четырехугольник невыпуклый, то достаточно взять его угол, больший $180^{\circ}$, и любой из соседних. Если четырехугольник выпуклый, то
$(\angle A + \angle B) + (\angle C + \angle D) = 360^{\circ}$.
Значит, выражение в одной из скобок не меньше $180^{\circ}$. Можно считать, что $\angle A + \angle B \geq 180^{\circ}$ (другой случай полностью аналогичен). Если сумма углов $A$ и $B$ равна $180^{\circ}$, то $BC \parallel AD$, $ABCD$ - трапеция, и разрезать ее на трапеции совсем легко - см. рис. а.
Пусть $\angle A + \angle B > 180^{\circ}$. Рассмотрим прямую $l$, проходящую через точку $B$, параллельно стороне $AD$ (рис. б). Пусть $а$ - угол между прямой $l$ и стороной $AB$. Имеем
$\alpha = 180^{\circ} - \angle A < \angle B$
(первое равенство следует из теоремы о внутренних односторонних углах при параллельных прямых). Значит, прямая $l$ направлена внутрь угла $B$. Тогда она пересекает сторону $CD$ в некоторой точке $L$. Проведем прямую, параллельную стороне $CD$ и пересекающую отрезки $AD$ и $BL$, пусть эта прямая пересекает сторону $AD$ в точке $K$, а отрезок $BL$ - в точке $M$. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную стороне $BC$, до пересечения с отрезком $CL$ в точке $N$. Мы разрезали наш четырехугольник на трапеции $AKMB, KDNM$ и $CNMB$. Случай невыпуклого четырехугольника изображен на рис. в.
Покажите, как любой четырехугольник разрезать на три трапеции (параллелограмм тоже можно считать трапецией).
Решение:
Решение изображено на рис. а-в. Однако, чтобы сделать его строгим, придется приложить некоторые усилия (впрочем, решение засчитывалось и при отсутствии строгого обоснования).
Пусть $ABCD$ - произвольный четырехугольник. Заметим, что у него найдутся два соседних внутренних угла, сумма которых не меньше $180^{\circ}$. Действительно, если четырехугольник невыпуклый, то достаточно взять его угол, больший $180^{\circ}$, и любой из соседних. Если четырехугольник выпуклый, то
$(\angle A + \angle B) + (\angle C + \angle D) = 360^{\circ}$.
Значит, выражение в одной из скобок не меньше $180^{\circ}$. Можно считать, что $\angle A + \angle B \geq 180^{\circ}$ (другой случай полностью аналогичен). Если сумма углов $A$ и $B$ равна $180^{\circ}$, то $BC \parallel AD$, $ABCD$ - трапеция, и разрезать ее на трапеции совсем легко - см. рис. а.
Пусть $\angle A + \angle B > 180^{\circ}$. Рассмотрим прямую $l$, проходящую через точку $B$, параллельно стороне $AD$ (рис. б). Пусть $а$ - угол между прямой $l$ и стороной $AB$. Имеем
$\alpha = 180^{\circ} - \angle A < \angle B$
(первое равенство следует из теоремы о внутренних односторонних углах при параллельных прямых). Значит, прямая $l$ направлена внутрь угла $B$. Тогда она пересекает сторону $CD$ в некоторой точке $L$. Проведем прямую, параллельную стороне $CD$ и пересекающую отрезки $AD$ и $BL$, пусть эта прямая пересекает сторону $AD$ в точке $K$, а отрезок $BL$ - в точке $M$. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную стороне $BC$, до пересечения с отрезком $CL$ в точке $N$. Мы разрезали наш четырехугольник на трапеции $AKMB, KDNM$ и $CNMB$. Случай невыпуклого четырехугольника изображен на рис. в.
