Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3285
2019-06-02 
Решите в натуральных числах уравнение $3^x + 4^y = 5^z$.
Решение:
Правая часть уравнения при делении на 3 должна давать тот же остаток, что и левая, т. е. 1. Поэтому $z$ - четное число (см. комментарий). Аналогично левая часть уравнения делится на 4 с остатком 1, поэтому число $x$ тоже четное. Итак, $4^y = 5^z - 3^x = 5^{2z_0} - 3^{2x_0}$, т. е. $2^2y = (5^{z_o} - 3^{x_0})(5^{z_0} + 3^{x_0})$. Поэтому $5^{z_0} - 3^{x_0} = 2^k$ и $5^{z_o} + 3^{x_0} = 2^l$ (см. факт 10), где $k$ и $l$ - целые неотрицательные числа и $k + 1 = 2y$. Таким образом, $5^{z_o} = 2 (2^k + 2^l)$ и
$3^{x_0} = 1/2 (2^l - 2^k) = 2^{l-1} - 2^{k-1}$.
Значит, число $2^{l-1} - 2^{k-1}$ нечетно, поэтому $k = 1$. Значит, $2^k = 2$ и $3^{x_0} = 2^{l-1} - 1$. Следовательно, число $l - 1$ четно, $l - 1 = 2s$ (иначе левая часть не делится на 3). Тогда $3^{x_0} = (2^s - 1)(2^s + 1)$ - произведение двух множителей, отличающихся на 2 и являющихся степенями тройки. Ясно, что эти множители - 1 и 3. Тогда $s = 1, l = 2s + 1 = 3$. Теперь нетрудно видеть, что $x = y = z = 2$.
Ответ: Единственное решение: $x = y = z = 2$.
Решите в натуральных числах уравнение $3^x + 4^y = 5^z$.
Решение:
Правая часть уравнения при делении на 3 должна давать тот же остаток, что и левая, т. е. 1. Поэтому $z$ - четное число (см. комментарий). Аналогично левая часть уравнения делится на 4 с остатком 1, поэтому число $x$ тоже четное. Итак, $4^y = 5^z - 3^x = 5^{2z_0} - 3^{2x_0}$, т. е. $2^2y = (5^{z_o} - 3^{x_0})(5^{z_0} + 3^{x_0})$. Поэтому $5^{z_0} - 3^{x_0} = 2^k$ и $5^{z_o} + 3^{x_0} = 2^l$ (см. факт 10), где $k$ и $l$ - целые неотрицательные числа и $k + 1 = 2y$. Таким образом, $5^{z_o} = 2 (2^k + 2^l)$ и
$3^{x_0} = 1/2 (2^l - 2^k) = 2^{l-1} - 2^{k-1}$.
Значит, число $2^{l-1} - 2^{k-1}$ нечетно, поэтому $k = 1$. Значит, $2^k = 2$ и $3^{x_0} = 2^{l-1} - 1$. Следовательно, число $l - 1$ четно, $l - 1 = 2s$ (иначе левая часть не делится на 3). Тогда $3^{x_0} = (2^s - 1)(2^s + 1)$ - произведение двух множителей, отличающихся на 2 и являющихся степенями тройки. Ясно, что эти множители - 1 и 3. Тогда $s = 1, l = 2s + 1 = 3$. Теперь нетрудно видеть, что $x = y = z = 2$.
Ответ: Единственное решение: $x = y = z = 2$.
