Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3283
2019-06-02 
Про непрерывную функцию $f$ известно, что:
1) $f$ определена на всей числовой прямой;
2) $f$ в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график $f$ в каждой точке имеет единственную касательную);
3) график функции $f$ не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая - иррациональна.
Следует ли отсюда, что график $f$ - прямая?
Решение:
Пример:
$f(x) = \begin{cases} 2 - x & \: если x \leq 1 \\ \frac{1}{x} & \: если x > 1 \end{cases}$.
(график этой функции изображен на рис.). Первое свойство очевидно, второе свойство следует из того, что производные функций $2 - x$ и $\frac{1}{x}$ в точке 1 равны.
Докажем третье свойство. Очевидно, что если $x$ рационально, то и $f(x)$ рационально. Пусть $y = f(x)$ рационально. Тогда или $x = 2 - y$, или $x = 1$. В любом случае $x$ рационально. Значит, рациональным $x$ соответствуют рациональные $f(x)$ и наоборот.
Ответ: Нет, не следует.
Про непрерывную функцию $f$ известно, что:
1) $f$ определена на всей числовой прямой;
2) $f$ в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график $f$ в каждой точке имеет единственную касательную);
3) график функции $f$ не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая - иррациональна.
Следует ли отсюда, что график $f$ - прямая?
Решение:
Пример:
$f(x) = \begin{cases} 2 - x & \: если x \leq 1 \\ \frac{1}{x} & \: если x > 1 \end{cases}$.
(график этой функции изображен на рис.). Первое свойство очевидно, второе свойство следует из того, что производные функций $2 - x$ и $\frac{1}{x}$ в точке 1 равны.
Докажем третье свойство. Очевидно, что если $x$ рационально, то и $f(x)$ рационально. Пусть $y = f(x)$ рационально. Тогда или $x = 2 - y$, или $x = 1$. В любом случае $x$ рационально. Значит, рациональным $x$ соответствуют рациональные $f(x)$ и наоборот.
Ответ: Нет, не следует.
