Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 328
2014-06-07 
Через $S$ и $V$ обозначены площадь поверхности и объем правильной n-угольной пирамиды.
а) Для заданных значении $n$ и $S$ найти наибольшее значение $V$.
б) Найти стороны основании и высоты всех пирамид, для которых $n = 4, S = 144, V = 64$.
Решение:
Введем дополнительные обозначения: $Q$ - площадь основания, $h$ - высота пирамиды, $x$ - косинус двугранного угла между основанием и боковой гранью, $a$ - сторона основания, $r$ - радиус окружности, вписанной в основание. Тогда справедливы равенства
$a = 2r \: tg \: (180^{\circ}, Q = n (1/2) ra = nr^{2} tg \: (180^{\circ}/n)$,
$h = r \: tg \: (arccos x) = r \sqrt{1 – x^{2}}/x, S = Q + (1/x)Q$,
откуда
$Q = xS/(x + 1), r = \sqrt{\frac{Q}{n tg \: (180^{\circ}/n)}} = \sqrt{\frac{S}{n tg \: (180^{\circ}/n)} \frac{x}{x + 1}}$,
$V = \frac{1}{3} hQ = \frac{1}{3} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x} \cdot \sqrt{\frac{S}{n tg \: (180^{\circ}/n)} \frac{x}{x + 1}} \cdot \frac{xS}{x+1} = $
$= \frac{1}{3} \frac{S^{3/2}}{\sqrt{n tg \: (180^{\circ}/n)}} \cdot f(x)$,
где
$f(x) = \frac{\sqrt{x(1-x)}}{1 + x}$.
а) Имеем
$f^{\prime}(x) = \frac{1 – 3x}{2(1 + x)^{2} \sqrt{x(1-x)}}$,
поэтому наибольшее значение функции $f(x)$ при $x \in (0; 1)$ равно $f(1/3) = \sqrt{2}/4$ (ибо $f^{\prime}(x) > 0$ при $x < 1/3$ и $f^{\prime}(x) < 0$ при $x > 1/3$), а
искомое значение объема $V$ равно
$\frac{\sqrt{2}}{12} \cdot \frac{S^{3/2}}{\sqrt{n tg \: (180^{\circ}/n)}}$.
б) Подставляя в полученное соотношение между величинами $V, S, n, x$ данные значения $n, S, V$, ползаем уравнение для $x$
$\frac{\sqrt{x(1 - x)}}{1+x} = \frac{2}{9}$,
имеющее корни $x_{1} = 1/17$ и $x_{2} = 4/5$. Поэтому $Q_{1} = 8$ и $Q_{2} = 64$, откуда $r_{1} = \sqrt{2}$ и $r_{2} = 4$, следовательно,
$a_{1} = 2\sqrt{2}, h_{1} = 24$ и $a_{2} = 8, h_{2} = 3$.
Через $S$ и $V$ обозначены площадь поверхности и объем правильной n-угольной пирамиды.
а) Для заданных значении $n$ и $S$ найти наибольшее значение $V$.
б) Найти стороны основании и высоты всех пирамид, для которых $n = 4, S = 144, V = 64$.
Решение:
Введем дополнительные обозначения: $Q$ - площадь основания, $h$ - высота пирамиды, $x$ - косинус двугранного угла между основанием и боковой гранью, $a$ - сторона основания, $r$ - радиус окружности, вписанной в основание. Тогда справедливы равенства
$a = 2r \: tg \: (180^{\circ}, Q = n (1/2) ra = nr^{2} tg \: (180^{\circ}/n)$,
$h = r \: tg \: (arccos x) = r \sqrt{1 – x^{2}}/x, S = Q + (1/x)Q$,
откуда
$Q = xS/(x + 1), r = \sqrt{\frac{Q}{n tg \: (180^{\circ}/n)}} = \sqrt{\frac{S}{n tg \: (180^{\circ}/n)} \frac{x}{x + 1}}$,
$V = \frac{1}{3} hQ = \frac{1}{3} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x} \cdot \sqrt{\frac{S}{n tg \: (180^{\circ}/n)} \frac{x}{x + 1}} \cdot \frac{xS}{x+1} = $
$= \frac{1}{3} \frac{S^{3/2}}{\sqrt{n tg \: (180^{\circ}/n)}} \cdot f(x)$,
где
$f(x) = \frac{\sqrt{x(1-x)}}{1 + x}$.
а) Имеем
$f^{\prime}(x) = \frac{1 – 3x}{2(1 + x)^{2} \sqrt{x(1-x)}}$,
поэтому наибольшее значение функции $f(x)$ при $x \in (0; 1)$ равно $f(1/3) = \sqrt{2}/4$ (ибо $f^{\prime}(x) > 0$ при $x < 1/3$ и $f^{\prime}(x) < 0$ при $x > 1/3$), а
искомое значение объема $V$ равно
$\frac{\sqrt{2}}{12} \cdot \frac{S^{3/2}}{\sqrt{n tg \: (180^{\circ}/n)}}$.
б) Подставляя в полученное соотношение между величинами $V, S, n, x$ данные значения $n, S, V$, ползаем уравнение для $x$
$\frac{\sqrt{x(1 - x)}}{1+x} = \frac{2}{9}$,
имеющее корни $x_{1} = 1/17$ и $x_{2} = 4/5$. Поэтому $Q_{1} = 8$ и $Q_{2} = 64$, откуда $r_{1} = \sqrt{2}$ и $r_{2} = 4$, следовательно,
$a_{1} = 2\sqrt{2}, h_{1} = 24$ и $a_{2} = 8, h_{2} = 3$.
