Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3279
2019-06-02 
Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?
Решение:
1°. Если число делится на 1998, то оно делится и на 999. Мы покажем, что не существует числа, делящегося на 999, сумма цифр которого меньше, чем 27.
Хорошо известен признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр его десятичной записи делится на 9. Сформулируем аналогичный признак делимости на 999:
Разобьем десятичную запись числа на группы по 3 цифры справа налево (последняя группа может состоять из одной или двух цифр). Сложим эти группы. Исходное число делится на 999 тогда и только тогда, когда полученная сумма делится на 999.
Например, число 97902 делится на 999, так как на 999 делится число $97 + 902 = 999$.
Можно представлять себе эти тройки цифр как «цифры числа в тысячеричной записи» (см. факт 12). Доказательство этого признака полностью копирует доказательство признака делимости на 9, поэтому мы оставляем его читателю (см. факт 6).
2°. Рассмотрим число, делящееся на 999, разобьем его на тройки цифр и вычислим сумму этих троек. Если новое число больше 1000, то снова разобьем его на тройки цифр и вычислим сумму, и так далее, пока не получим число, меньшее 1000. Это случится, поскольку число уменьшается при каждой операции. Действительно, если $a_1, \cdots, a_k$ - неотрицательные целые числа, $a_k \neq 0$ и $k \geq 1$, то
$a_0 + 1000a_1 + \cdots + 1000^ka_k > a_0 + a_1 + \cdots + a_k$.
Итак, после нескольких операций мы получим положительное число, меньшее 1000, делящееся на 999, следовательно, оно будет равно 999.
3°. Сумма цифр числа 999 равна 27. Если мы покажем, что при наших операциях сумма цифр не могла увеличиваться, то из этого будет следовать, что сумма цифр исходного числа не могла быть меньше 27. Очевидно, что когда мы разрезали число на тройки цифр, сумма цифр не изменялась. Покажем, что когда мы сложили тройки, сумма цифр не увеличилась. Действительно, обозначим через $S(X)$ сумму цифр числа $X$. Из алгоритма сложения в столбик видно, что $S(X + Y) = S(X) + + S(Y) - 9P(X, Y)$, где $P(X, Y)$ - число переносов при сложении $X$ и $Y$ в столбик. Значит, $S(X + Y) < S(X) + S(Y)$, и наше утверждение доказано.
Ответ: Не существует.
Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?
Решение:
1°. Если число делится на 1998, то оно делится и на 999. Мы покажем, что не существует числа, делящегося на 999, сумма цифр которого меньше, чем 27.
Хорошо известен признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр его десятичной записи делится на 9. Сформулируем аналогичный признак делимости на 999:
Разобьем десятичную запись числа на группы по 3 цифры справа налево (последняя группа может состоять из одной или двух цифр). Сложим эти группы. Исходное число делится на 999 тогда и только тогда, когда полученная сумма делится на 999.
Например, число 97902 делится на 999, так как на 999 делится число $97 + 902 = 999$.
Можно представлять себе эти тройки цифр как «цифры числа в тысячеричной записи» (см. факт 12). Доказательство этого признака полностью копирует доказательство признака делимости на 9, поэтому мы оставляем его читателю (см. факт 6).
2°. Рассмотрим число, делящееся на 999, разобьем его на тройки цифр и вычислим сумму этих троек. Если новое число больше 1000, то снова разобьем его на тройки цифр и вычислим сумму, и так далее, пока не получим число, меньшее 1000. Это случится, поскольку число уменьшается при каждой операции. Действительно, если $a_1, \cdots, a_k$ - неотрицательные целые числа, $a_k \neq 0$ и $k \geq 1$, то
$a_0 + 1000a_1 + \cdots + 1000^ka_k > a_0 + a_1 + \cdots + a_k$.
Итак, после нескольких операций мы получим положительное число, меньшее 1000, делящееся на 999, следовательно, оно будет равно 999.
3°. Сумма цифр числа 999 равна 27. Если мы покажем, что при наших операциях сумма цифр не могла увеличиваться, то из этого будет следовать, что сумма цифр исходного числа не могла быть меньше 27. Очевидно, что когда мы разрезали число на тройки цифр, сумма цифр не изменялась. Покажем, что когда мы сложили тройки, сумма цифр не увеличилась. Действительно, обозначим через $S(X)$ сумму цифр числа $X$. Из алгоритма сложения в столбик видно, что $S(X + Y) = S(X) + + S(Y) - 9P(X, Y)$, где $P(X, Y)$ - число переносов при сложении $X$ и $Y$ в столбик. Значит, $S(X + Y) < S(X) + S(Y)$, и наше утверждение доказано.
Ответ: Не существует.
