Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3278
2019-05-29 
Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?
Решение:
Занумеруем фонари натуральными числами в порядке следования вдоль дороги. Если отрезки, освещенные $n$-м и $(n + 2)$-м фонарями, пересекаются (хотя бы по одной точке), то $(n + 1)$-й фонарь можно выключить. Следовательно, отрезки с различными нечетными номерами, не пересекаются. На отрезке длины 1000 м нельзя расположить больше 999 непересекающихся отрезков длины 1 м. Если бы фонарей было хотя бы 1999, то фонарей с нечетными номерами было бы не менее 1000. Значит, фонарей не больше 1998.
Расположим 1998 фонарей так, чтобы центры освещенных отрезков образовывали арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1 м, а 1998-й равен $999 \frac{1}{2} м$. (Разность этой прогрессии равна $\frac{999}{1997}$.) Расстояние между $n$-м и $(n + 2)$-м фонарем равно $\frac{1998}{1997}$. Значит, между отрезками, освещенными этими фонарями, имеется зазор в $\frac{1}{1997} м$. Его освещает только $(n + 1)$-й фонарь. Поэтому никакой фонарь нельзя выключить.
Ответ: 1998.
Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?
Решение:
Занумеруем фонари натуральными числами в порядке следования вдоль дороги. Если отрезки, освещенные $n$-м и $(n + 2)$-м фонарями, пересекаются (хотя бы по одной точке), то $(n + 1)$-й фонарь можно выключить. Следовательно, отрезки с различными нечетными номерами, не пересекаются. На отрезке длины 1000 м нельзя расположить больше 999 непересекающихся отрезков длины 1 м. Если бы фонарей было хотя бы 1999, то фонарей с нечетными номерами было бы не менее 1000. Значит, фонарей не больше 1998.
Расположим 1998 фонарей так, чтобы центры освещенных отрезков образовывали арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1 м, а 1998-й равен $999 \frac{1}{2} м$. (Разность этой прогрессии равна $\frac{999}{1997}$.) Расстояние между $n$-м и $(n + 2)$-м фонарем равно $\frac{1998}{1997}$. Значит, между отрезками, освещенными этими фонарями, имеется зазор в $\frac{1}{1997} м$. Его освещает только $(n + 1)$-й фонарь. Поэтому никакой фонарь нельзя выключить.
Ответ: 1998.
