Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3277
2019-05-29 
Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону. Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.
Решение:
Первый способ. Обозначим отмеченную сторону $i$-го прямоугольника через $а_i$, а другую его сторону - через $b_i$. Площадь исходного квадрата равна сумме площадей прямоугольников: $\sum а_ib_i = 1$. Но $b_i \leq 1$ при всех $i$, поэтому $\sum a_i \geq 1$.
Второй способ. Спроецируем все отмеченные отрезки на одну из сторон квадрата. Если она полностью покрыта проекциями, то их суммарная длина не меньше 1. Если на стороне есть точка, не покрытая проекциями, то проведем через нее перпендикуляр к стороне. Этот перпендикуляр покрыт прямоугольниками, в которых отмечена сторона, параллельная ему (иначе основание перпендикуляра покрыто проекцией отмеченной стороны), значит, суммарная длина этих отрезков равна 1.
Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону. Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.
Решение:
Первый способ. Обозначим отмеченную сторону $i$-го прямоугольника через $а_i$, а другую его сторону - через $b_i$. Площадь исходного квадрата равна сумме площадей прямоугольников: $\sum а_ib_i = 1$. Но $b_i \leq 1$ при всех $i$, поэтому $\sum a_i \geq 1$.
Второй способ. Спроецируем все отмеченные отрезки на одну из сторон квадрата. Если она полностью покрыта проекциями, то их суммарная длина не меньше 1. Если на стороне есть точка, не покрытая проекциями, то проведем через нее перпендикуляр к стороне. Этот перпендикуляр покрыт прямоугольниками, в которых отмечена сторона, параллельная ему (иначе основание перпендикуляра покрыто проекцией отмеченной стороны), значит, суммарная длина этих отрезков равна 1.
