Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3276
2019-05-29 
Пусть $a, b, с$ - такие целые неотрицательные числа, что $28a + 30b + 31c = 365$. Докажите, что $a + b + с = 12$.
Решение:
Пусть $a + b + c \leq 11$. Тогда
$28a + 30b + 31c < 31 (a + b + c) \leq 11 \cdot 31 = 341 < 365$.
Противоречие. Пусть $а + b + c \geq 14$. Тогда
$28a + 30b + 31c \geq 28(а + b + c) \geq 28 \cdot 14 = 392 > 365$.
И этого быть не может! Осталось доказать, что $а + b + c$ не может равняться 13. Итак, пусть $а + b + c = 13$. Вариант $а = 13, b = c = 0$ не удовлетворяет условию:
$28 \cdot 13 + 30 \cdot 0 + 31 \cdot 0 = 364 = 365$.
Остается вариант $а + b + c = 13, а < 13$. В этом случае $b + c = 13 - а > 0$ и
$28a + 30b + 31c = 28(а + b + c) + 2b + 3c \geq 28 \cdot 13 + 2(b + c)$.
Первое слагаемое равно 364, а второе - не меньше 2. Значит, сумма не меньше 366, и не может равняться 365.
Пусть $a, b, с$ - такие целые неотрицательные числа, что $28a + 30b + 31c = 365$. Докажите, что $a + b + с = 12$.
Решение:
Пусть $a + b + c \leq 11$. Тогда
$28a + 30b + 31c < 31 (a + b + c) \leq 11 \cdot 31 = 341 < 365$.
Противоречие. Пусть $а + b + c \geq 14$. Тогда
$28a + 30b + 31c \geq 28(а + b + c) \geq 28 \cdot 14 = 392 > 365$.
И этого быть не может! Осталось доказать, что $а + b + c$ не может равняться 13. Итак, пусть $а + b + c = 13$. Вариант $а = 13, b = c = 0$ не удовлетворяет условию:
$28 \cdot 13 + 30 \cdot 0 + 31 \cdot 0 = 364 = 365$.
Остается вариант $а + b + c = 13, а < 13$. В этом случае $b + c = 13 - а > 0$ и
$28a + 30b + 31c = 28(а + b + c) + 2b + 3c \geq 28 \cdot 13 + 2(b + c)$.
Первое слагаемое равно 364, а второе - не меньше 2. Значит, сумма не меньше 366, и не может равняться 365.
