Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3274
2019-05-29 
Точка $O$ лежит внутри ромба $ABCD$. Угол $DAB$ равен $110^{\circ}$. Углы $AOD$ и $BOC$ равны $80^{\circ}$ и $100^{\circ}$ соответственно. Чему может быть равна величина угла $AOB$?
Решение:
1°. Заметим, что геометрическое $B$ место таких точек $O$, что $\angle AOD = 80^{\circ}$ и точка $O$ лежит по ту же сторону от прямой $AD$, что и $B$, - это дуга окружности с концами в точках $A$ и $D$, а множество точек $O$, для которых $\angle BOC = 100^{\circ}$, причем точка $O$ лежит по ту же сторону от прямой $BC$, что и $A$, - это дуга окружности с концами в точках $B$ и $C$ (рис.). Точка $O$ должна лежать на пересечении этих двух дуг. Следовательно, таких точек не может быть более двух.
2°. Укажем две точки, удовлетворяющие условиям за дачи. Первая точка, $O_1$, лежит на диагонали $AC$, причем $\angle BO_1C = 100^{\circ}$. Тогда, очевидно, $\angle AO_1B = 80^{\circ}$, и в силу симметрии относительно $AC$ имеем $\angle AO_1D = \angle AO_1B = 80^{\circ}$, что и требуется в условии. Аналогично, вторая точка, $O_2$, лежит на диагонали $BD$, причем $\angle BO_2C = 100^{\circ}$. В этом случае $\angle AO_2D = 80^{\circ}$ и $\angle AO_2B = 100^{\circ}$.
Легко видеть, что эти две точки различны (они лежат на разных диагоналях и отличны от точки пересечения диагоналей) и обе лежат внутри ромба (т. е. точки лежат на диагоналях, а не на их продолжениях). Действительно, пусть диагонали ромба пересекаются в точке $P$. Рассмотрим треугольник $BPC$. Так как $\angle BO_1P = 80^{\circ} > 55^{\circ} = \angle BCP$, точка $O_1$ лежит внутри ромба. Аналогично, $\angle CBP = 35^{\circ} < 80^{\circ} = \angle CO_2P$, поэтому точка $O_2$ находится на диагонали $BD$, а не на ее продолжении.
Ответ: $80^{\circ}$ или $100^{\circ}$.
Точка $O$ лежит внутри ромба $ABCD$. Угол $DAB$ равен $110^{\circ}$. Углы $AOD$ и $BOC$ равны $80^{\circ}$ и $100^{\circ}$ соответственно. Чему может быть равна величина угла $AOB$?
Решение:
1°. Заметим, что геометрическое $B$ место таких точек $O$, что $\angle AOD = 80^{\circ}$ и точка $O$ лежит по ту же сторону от прямой $AD$, что и $B$, - это дуга окружности с концами в точках $A$ и $D$, а множество точек $O$, для которых $\angle BOC = 100^{\circ}$, причем точка $O$ лежит по ту же сторону от прямой $BC$, что и $A$, - это дуга окружности с концами в точках $B$ и $C$ (рис.). Точка $O$ должна лежать на пересечении этих двух дуг. Следовательно, таких точек не может быть более двух.
2°. Укажем две точки, удовлетворяющие условиям за дачи. Первая точка, $O_1$, лежит на диагонали $AC$, причем $\angle BO_1C = 100^{\circ}$. Тогда, очевидно, $\angle AO_1B = 80^{\circ}$, и в силу симметрии относительно $AC$ имеем $\angle AO_1D = \angle AO_1B = 80^{\circ}$, что и требуется в условии. Аналогично, вторая точка, $O_2$, лежит на диагонали $BD$, причем $\angle BO_2C = 100^{\circ}$. В этом случае $\angle AO_2D = 80^{\circ}$ и $\angle AO_2B = 100^{\circ}$.
Легко видеть, что эти две точки различны (они лежат на разных диагоналях и отличны от точки пересечения диагоналей) и обе лежат внутри ромба (т. е. точки лежат на диагоналях, а не на их продолжениях). Действительно, пусть диагонали ромба пересекаются в точке $P$. Рассмотрим треугольник $BPC$. Так как $\angle BO_1P = 80^{\circ} > 55^{\circ} = \angle BCP$, точка $O_1$ лежит внутри ромба. Аналогично, $\angle CBP = 35^{\circ} < 80^{\circ} = \angle CO_2P$, поэтому точка $O_2$ находится на диагонали $BD$, а не на ее продолжении.
Ответ: $80^{\circ}$ или $100^{\circ}$.
