Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 327
2014-06-07 
Каждая из двух несовпадающих сфер радиусов $r_{1}$ и $r_{2}$ касается внутренним образом сферы $S$ радиуса $R$ и проходит через точки А, В, С, расположенные так, что перпендикуляр к плоскости AВС, проходящий через точку А, проходит и через центр сферы $S$. Доказать, что $r_{1} + r_{2} = R$.
Решение:
Проведем через точку $A$ прямую $d$, перпендикулярную плоскости $ABC$. Тогда центры $O_{1}$ и $O_{2}$ сфер, касающихся сферы $S$, лежат на прямой $l$, состоящей из точек, равноудаленных от точек $A, B, C$, а значит, параллельной прямой d. Пусть $A^{\prime}$ - точка, симметричная точке А относительно прямой $l$, a $D$ - точка пересечения прямых $OA^{\prime}$ и $l$ (рис.). Точка $A$ (а также точка $A^{\prime}$) принадлежит обеим сферам, поэтому $O_{1}A = r_{1}$ и $O_{2}A = r_{2}$. Из условий касания сфер имеем $O_{1}O = R – r_{1}$ и $O_{2}O = R – r_{2}$, поэтому
$O_{1}O + O_{1}A = R = O_{2}O + O_{2}A$.
Докажем, что точки $O_{1}$ и $O_{2}$ симметричны относительно точки $D$. Действительно, фиксируем точку $O_{1}$, для которой
$O_{1}O + O_{1}A = R$.
Тогда для точки $O_{2}$, симметричной точке $O_{1}$ относительно точки $D$, имеем
$O_{2}O + O_{2}A = O_{1}A + O_{1}O = R$.
Далее, для любой точки $O_{2}^{\prime}$, лежащей на прямой $l$ между точками $D$ и $O_{2}$, имеем
$O^{\prime}_{2}O + O^{\prime}_{2}A = O^{\prime}_{2}O + O^{\prime}_{2}A^{\prime} < O_{2}O + O_{2}A^{\prime} = O_{2}O + O_{2}A = R$
(ибо периметр внутреннего треугольника меньше периметра внешнего), а для любой точки $O_{2}^{\prime \prime}$, расположенной на продолжении отрезка $DO_{2}$ за точку $O_{2}$, аналогично имеем
$O_{2}^{\prime \prime}O + O_{2}^{\prime \prime}A > R$.
Точно так же рассматриваются точки луча $DO_{1}$. Таким образом, получаем
$R – r_{1} = O_{1}O = O_{2}A = r_{2}$,
откуда
$r_{1} + r_{2} = R$,
что и требовалось доказать.
Каждая из двух несовпадающих сфер радиусов $r_{1}$ и $r_{2}$ касается внутренним образом сферы $S$ радиуса $R$ и проходит через точки А, В, С, расположенные так, что перпендикуляр к плоскости AВС, проходящий через точку А, проходит и через центр сферы $S$. Доказать, что $r_{1} + r_{2} = R$.
Решение:
Проведем через точку $A$ прямую $d$, перпендикулярную плоскости $ABC$. Тогда центры $O_{1}$ и $O_{2}$ сфер, касающихся сферы $S$, лежат на прямой $l$, состоящей из точек, равноудаленных от точек $A, B, C$, а значит, параллельной прямой d. Пусть $A^{\prime}$ - точка, симметричная точке А относительно прямой $l$, a $D$ - точка пересечения прямых $OA^{\prime}$ и $l$ (рис.). Точка $A$ (а также точка $A^{\prime}$) принадлежит обеим сферам, поэтому $O_{1}A = r_{1}$ и $O_{2}A = r_{2}$. Из условий касания сфер имеем $O_{1}O = R – r_{1}$ и $O_{2}O = R – r_{2}$, поэтому
$O_{1}O + O_{1}A = R = O_{2}O + O_{2}A$.
Докажем, что точки $O_{1}$ и $O_{2}$ симметричны относительно точки $D$. Действительно, фиксируем точку $O_{1}$, для которой
$O_{1}O + O_{1}A = R$.
Тогда для точки $O_{2}$, симметричной точке $O_{1}$ относительно точки $D$, имеем
$O_{2}O + O_{2}A = O_{1}A + O_{1}O = R$.
Далее, для любой точки $O_{2}^{\prime}$, лежащей на прямой $l$ между точками $D$ и $O_{2}$, имеем
$O^{\prime}_{2}O + O^{\prime}_{2}A = O^{\prime}_{2}O + O^{\prime}_{2}A^{\prime} < O_{2}O + O_{2}A^{\prime} = O_{2}O + O_{2}A = R$
(ибо периметр внутреннего треугольника меньше периметра внешнего), а для любой точки $O_{2}^{\prime \prime}$, расположенной на продолжении отрезка $DO_{2}$ за точку $O_{2}$, аналогично имеем
$O_{2}^{\prime \prime}O + O_{2}^{\prime \prime}A > R$.
Точно так же рассматриваются точки луча $DO_{1}$. Таким образом, получаем
$R – r_{1} = O_{1}O = O_{2}A = r_{2}$,
откуда
$r_{1} + r_{2} = R$,
что и требовалось доказать.
