Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3269
2019-05-29 
Красный квадрат покрывают 100 белых квадратов. При этом все квадраты одинаковы и стороны каждого белого квадрата параллельны сторонам красного. Всегда ли можно удалить один из белых квадратов так, что оставшиеся белые квадраты все еще будут покрывать целиком красный квадрат?
Решение:
См. рис. для 8 белых квадратов.
Обозначим вершины красного квадрата буквами $A, B, C$ и $D$. Диагональ $AC$ разобьем на 100 равных отрезков, концы которых последовательно обозначим числами $1, 2, \cdots, 101$ (точка $A$ обозначена числом 1, а точка $C$ - числом 101). Заметим, что для каждой пары точек $k$ и $k + 1 (k = 1, 2, \cdots, 100$), существуют ровно два квадрата данного размера, стороны которых параллельны сторонам красного квадрата и проходят через точки $k$ и $k + 1$, причем один из этих квадратов содержит вершину $B$ и не содержит $D$, а другой квадрат, наоборот, содержит $D$ и не содержит $B$ (см. рис.). Если $k$ нечетно, то возьмем тот квадрат, который содержит вершину $B$, а если $k$ четно, возьмем квадрат, содержащий вершину $D$. Выбранные таким образом 100 белых квадратов покрывают целиком красный квадрат, но если удалить квадрат, стороны которого проходят через точки $k$ и $k +1$, то отрезок диагонали с концами $k$ и $k + 1$ покрыт не будет.
Ответ: Не всегда.
Красный квадрат покрывают 100 белых квадратов. При этом все квадраты одинаковы и стороны каждого белого квадрата параллельны сторонам красного. Всегда ли можно удалить один из белых квадратов так, что оставшиеся белые квадраты все еще будут покрывать целиком красный квадрат?
Решение:
См. рис. для 8 белых квадратов.
Обозначим вершины красного квадрата буквами $A, B, C$ и $D$. Диагональ $AC$ разобьем на 100 равных отрезков, концы которых последовательно обозначим числами $1, 2, \cdots, 101$ (точка $A$ обозначена числом 1, а точка $C$ - числом 101). Заметим, что для каждой пары точек $k$ и $k + 1 (k = 1, 2, \cdots, 100$), существуют ровно два квадрата данного размера, стороны которых параллельны сторонам красного квадрата и проходят через точки $k$ и $k + 1$, причем один из этих квадратов содержит вершину $B$ и не содержит $D$, а другой квадрат, наоборот, содержит $D$ и не содержит $B$ (см. рис.). Если $k$ нечетно, то возьмем тот квадрат, который содержит вершину $B$, а если $k$ четно, возьмем квадрат, содержащий вершину $D$. Выбранные таким образом 100 белых квадратов покрывают целиком красный квадрат, но если удалить квадрат, стороны которого проходят через точки $k$ и $k +1$, то отрезок диагонали с концами $k$ и $k + 1$ покрыт не будет.
Ответ: Не всегда.
