Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3267
2019-05-29 
Некоторые из чисел $a_1, a_2, \cdots, a_{200}$ написаны синим карандашом, а остальные - красным. Если стереть все красные числа, то останутся все натуральные числа от 1 до 100, записанные в порядке возрастания. Если же стереть все синие числа, то останутся все натуральные числа от 100 до 1, записанные в порядке убывания. Докажите, что среди чисел $a_1, a_2, \cdots, a_{100}$ содержатся все натуральные числа от 1 до 100 включительно.
Решение:
Предположим, что среди чисел $a_1, a_2, \cdots, a_{100}$ содержится $k$ синих и, соответственно, $100 - k$ красных. Так как синие числа записаны в порядке возрастания, эти $k$ синих чисел суть числа от 1 до $k$ включительно. Аналогично, $100 - k$ красных чисел - числа $100, 99, \cdots, k + 1$. Значит, все числа от 1 до 100 встречаются среди $a_1 a_2, \cdots, a_{100}$.
Некоторые из чисел $a_1, a_2, \cdots, a_{200}$ написаны синим карандашом, а остальные - красным. Если стереть все красные числа, то останутся все натуральные числа от 1 до 100, записанные в порядке возрастания. Если же стереть все синие числа, то останутся все натуральные числа от 100 до 1, записанные в порядке убывания. Докажите, что среди чисел $a_1, a_2, \cdots, a_{100}$ содержатся все натуральные числа от 1 до 100 включительно.
Решение:
Предположим, что среди чисел $a_1, a_2, \cdots, a_{100}$ содержится $k$ синих и, соответственно, $100 - k$ красных. Так как синие числа записаны в порядке возрастания, эти $k$ синих чисел суть числа от 1 до $k$ включительно. Аналогично, $100 - k$ красных чисел - числа $100, 99, \cdots, k + 1$. Значит, все числа от 1 до 100 встречаются среди $a_1 a_2, \cdots, a_{100}$.
