Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3266
2019-05-29 
Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $M$ лежит на прямой $AB$, причем $\angle AMO = \angle MAD$. Докажите, что точка $M$ равноудалена от точек $C$ и $D$.
Решение:
Обозначим через $P$ и $Q$ середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Отрезок $PQ$ - средняя линия параллелограмма $ABCD$, значит, он проходит через точку $О$, причем $PQ \parallel AD$.
Это можно доказать так: четырехугольник $APQD$ - параллелограмм, так как стороны $АР$ и $QD$ параллельны и равны. Значит, прямая $PQ$ содержит среднюю линию треугольника $ACD$, так что она проходит через точку $O$.
Если точка $U$ не лежит на отрезке $AP$, то $\angle UPO = \angle MAD = \angle AMO$ (рис. а). Следовательно, треугольник $MPO$ равнобедренный, откуда следует, что $MO = РО$. Нетрудно проверить, что треугольник $MPО$ равнобедренный и в случае, когда точка $M$ лежит на отрезке $AP$ (рис. б).
Итак, $Mo = РО = OQ$, следовательно, в треугольнике $PMQ$ медиана $MO$ равна половине стороны $PQ$. Значит, треугольник $PMQ$ - прямоугольный, причем сторона $MQ$ перпендикулярна стороне $PM$. Но сторона $PM$ параллельна $CD$. Поэтому $MQ$ является серединным перпендикуляром для отрезка $CD$. Следовательно, $MC = MD$.
Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $M$ лежит на прямой $AB$, причем $\angle AMO = \angle MAD$. Докажите, что точка $M$ равноудалена от точек $C$ и $D$.
Решение:
Обозначим через $P$ и $Q$ середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Отрезок $PQ$ - средняя линия параллелограмма $ABCD$, значит, он проходит через точку $О$, причем $PQ \parallel AD$.
Это можно доказать так: четырехугольник $APQD$ - параллелограмм, так как стороны $АР$ и $QD$ параллельны и равны. Значит, прямая $PQ$ содержит среднюю линию треугольника $ACD$, так что она проходит через точку $O$.
Если точка $U$ не лежит на отрезке $AP$, то $\angle UPO = \angle MAD = \angle AMO$ (рис. а). Следовательно, треугольник $MPO$ равнобедренный, откуда следует, что $MO = РО$. Нетрудно проверить, что треугольник $MPО$ равнобедренный и в случае, когда точка $M$ лежит на отрезке $AP$ (рис. б).
Итак, $Mo = РО = OQ$, следовательно, в треугольнике $PMQ$ медиана $MO$ равна половине стороны $PQ$. Значит, треугольник $PMQ$ - прямоугольный, причем сторона $MQ$ перпендикулярна стороне $PM$. Но сторона $PM$ параллельна $CD$. Поэтому $MQ$ является серединным перпендикуляром для отрезка $CD$. Следовательно, $MC = MD$.
