Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3265
2019-05-29 
Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?
Решение:
Пусть $p_1, p_2, \cdots, p_8$ - различные простые числа. Тогда искомыми являются числа $n_1 = p_1^2 \cdot p_2 \cdot \cdots \cdot p_8, n_2 = p_1 \cdot p_2^2 \cdot p_3 \cdot \cdots \cdot p_8, \cdots, n_8 = p_1 \cdot p_2 \cdot \cdots \cdot p_8^2$.
Действительно, в разложение $n^2$ на простые множители все простые числа $p_1, p_2, \cdots, p_8$ входят минимум во второй степени. Поэтому $n_i^2$ делится на каждое из чисел $n_j$.
Покажем, что $n_i$ не делится на $n_j$ при $i \neq j$. Действительно, если $n_i$ делится на $n_j$, то $n_i$ делится на $p_j^2$ (так как $n_j$ делится на $p_j^2$). Но $p_j$ входит в разложение $n_i$ на простые множители в первой степени, поэтому оно не может делиться на $p_j^2$ - противоречие.
Ответ: Да, можно.
Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?
Решение:
Пусть $p_1, p_2, \cdots, p_8$ - различные простые числа. Тогда искомыми являются числа $n_1 = p_1^2 \cdot p_2 \cdot \cdots \cdot p_8, n_2 = p_1 \cdot p_2^2 \cdot p_3 \cdot \cdots \cdot p_8, \cdots, n_8 = p_1 \cdot p_2 \cdot \cdots \cdot p_8^2$.
Действительно, в разложение $n^2$ на простые множители все простые числа $p_1, p_2, \cdots, p_8$ входят минимум во второй степени. Поэтому $n_i^2$ делится на каждое из чисел $n_j$.
Покажем, что $n_i$ не делится на $n_j$ при $i \neq j$. Действительно, если $n_i$ делится на $n_j$, то $n_i$ делится на $p_j^2$ (так как $n_j$ делится на $p_j^2$). Но $p_j$ входит в разложение $n_i$ на простые множители в первой степени, поэтому оно не может делиться на $p_j^2$ - противоречие.
Ответ: Да, можно.
