Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 326
2014-06-07 
Сфера $s$ радиуса $r$ проходит через центр сферы $S$ радиуса $R$. Доказать, что если хорда АВ сферы $S$ касается сферы $s$ в точке С, то
$AC^{2} + BC^{2} \leq 2R^{2} + r^{2}$.
Решение:
Проведем плоскость, проходящую через точки A, B и центр О сферы S. Сечением сферы s будет окружность с центром $O_{1}$ и радиусом $r_{1} < r$, касающаяся примой АВ. Пусть ОН и ОК - перпендикуляры к прямым АВ и $O_{1}C$ соответственно (рис.), тогда, обозначив
$AB = 2a, OH = h$,
получаем
$AC^{2} + BC^{2} = (a + HC) + (a – HC)^{2} = 2a^{2} + 2HC^{2} =$
$= 2(R^{2} – OH^{2}) + 2(OO_{1}^{2} – O_{1}K^{2}) = 2(R^{2} – h^{2}) + 2(r^{2}_{1} - (r_{1} - h)^{2}) =$
$= 2R^{2} – 4h^{2} + 4hr_{1} = 2R^{2} + r_{1}^{2} – (2h – r_{1})^{2} \leq 2R^{2} + r^{2}$.
Сфера $s$ радиуса $r$ проходит через центр сферы $S$ радиуса $R$. Доказать, что если хорда АВ сферы $S$ касается сферы $s$ в точке С, то
$AC^{2} + BC^{2} \leq 2R^{2} + r^{2}$.
Решение:
Проведем плоскость, проходящую через точки A, B и центр О сферы S. Сечением сферы s будет окружность с центром $O_{1}$ и радиусом $r_{1} < r$, касающаяся примой АВ. Пусть ОН и ОК - перпендикуляры к прямым АВ и $O_{1}C$ соответственно (рис.), тогда, обозначив
$AB = 2a, OH = h$,
получаем
$AC^{2} + BC^{2} = (a + HC) + (a – HC)^{2} = 2a^{2} + 2HC^{2} =$
$= 2(R^{2} – OH^{2}) + 2(OO_{1}^{2} – O_{1}K^{2}) = 2(R^{2} – h^{2}) + 2(r^{2}_{1} - (r_{1} - h)^{2}) =$
$= 2R^{2} – 4h^{2} + 4hr_{1} = 2R^{2} + r_{1}^{2} – (2h – r_{1})^{2} \leq 2R^{2} + r^{2}$.
