Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3259
2019-05-29 
Вычислите
$\int_{0}^{ \pi /2} \cos^2 ( \cos x) + \sin^2 ( \sin x) dx$.
Решение:
Имеем
$\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 ( \cos x) + \sin^2 (\sin x) dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 (\cos x) dx + \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 (\sin x) dx$.
Выполним подстановку $y = \frac{ \pi}{2} - x$ во втором интеграле, тогда $dy = - dx$, и
$\int_{0}^{ \pi/2} \sin^{2} ( \sin x) dx = \int_{ \pi /2}^{0} \sin^{2} \left ( \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - y \right ) \right ) ( - dy) = \int_{0}^{ \pi /2} \sin^{2} ( \cos y) dy$.
Поскольку $\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 (\cos x) + \sin^2 (\cos x) = 1$, имеем
$\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 (\cos x) + \sin^2 (\sin x) dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 (\cos x) dx + \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 (\cos x) dx = \int_{0}^{\pi/2} dx = \pi/2$.
Ответ: $\pi/2$.
Вычислите
$\int_{0}^{ \pi /2} \cos^2 ( \cos x) + \sin^2 ( \sin x) dx$.
Решение:
Имеем
$\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 ( \cos x) + \sin^2 (\sin x) dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 (\cos x) dx + \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 (\sin x) dx$.
Выполним подстановку $y = \frac{ \pi}{2} - x$ во втором интеграле, тогда $dy = - dx$, и
$\int_{0}^{ \pi/2} \sin^{2} ( \sin x) dx = \int_{ \pi /2}^{0} \sin^{2} \left ( \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - y \right ) \right ) ( - dy) = \int_{0}^{ \pi /2} \sin^{2} ( \cos y) dy$.
Поскольку $\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 (\cos x) + \sin^2 (\cos x) = 1$, имеем
$\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 (\cos x) + \sin^2 (\sin x) dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 (\cos x) dx + \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 (\cos x) dx = \int_{0}^{\pi/2} dx = \pi/2$.
Ответ: $\pi/2$.
