ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-29   
На сторонах $AB, BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ взяты точки $C^{ \prime}, A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$ соответственно. Докажите, что площадь треугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ равна

$\frac {AB^{ \prime} \cdot BC^{ \prime} \cdot CA^{ \prime} + AC^{ \prime} \cdot CB^{ \prime} \cdot BA^{ \prime}}{4R}$,

где $R$ - радиус описанной окружности треугольника $ABC$ (рис.).



Решение:


Площадь треугольника $ABC$ равна $\frac{ AB \cdot BC \cdot CA}{4R}$, поэтому достаточно доказать, что отношение площади треугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ к площади треугольника $ABC$ равно

$\frac {AB^{ \prime} \cdot BC \cdot CA^{ \prime} + AC^{ \prime} \cdot CB^{ \prime} \cdot BA^{ \prime}}{AB \cdot BC \cdot CA}$.

Обозначим $AB^{ \prime}/CA = x, BC^{ \prime}/AB = y$ и $CA^{ \prime}/BC = z$. Тогда легко посчитать отношения площадей треугольников $AB^{ \prime}C^{ \prime}, A^{ \prime}BC^{ \prime}$ и $A^{ \prime}B^{ \prime}C$ к площади треугольника $ABC$. Они равны, соответственно, $x(1 - y), y(1 - z)$ и $z(1 - x)$. Поэтому для решения задачи достаточно проверить тождество

$1 - x(1 - y) - y(1 - z) - z(1 - x) = xyz + (1 - x)(1 - y)(1 - z)$.

Раскройте скобки - и убедитесь.