Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3256
2019-05-29 
В круговом турнире не было ничьих, за победу присуждалось 1 очко, за поражение — 0. Затем был определен коэффициент каждого участника. Он равнялся сумме очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен. Оказалось, что у всех участников коэффициенты равны. Число участников турнира больше двух. Докажите, что все спортсмены набрали одинаковое количество очков.
Решение:
Допустим, не все набрали одинаковое число очков. Пусть занявшие первое место («первые») набрали $K$ очков, а занявшие последнее место («последние») — $L$ очков. (Места определяются по очкам, а не по коэффициентам.)
Коэффициент «первых» — это сумма $K$ чисел, каждое из которых не меньше $L$. Значит, этот коэффициент не меньше $K \cdot L$. Аналогично, коэффициент «последних» — это сумма $L$ чисел, каждое из которых не больше $K$. Поэтому коэффициент «последних» не превосходит $K \cdot L$.
Если коэффициенты «первых» и «последних» равны, то они равняются $K \cdot L$. В этом случае каждый «первый» выиграл $K$ встреч у набравших $L$ очков, т. е. у «последних», а каждый «последний» выиграл $L$ встреч у набравших $K$ очков. Если число «первых» больше одного, то один из них выиграл у другого, что противоречит предыдущему. Значит, на первом месте один спортсмен. Аналогично, на последнем месте только один спортсмен.
По условию, в турнире есть третий участник. Из доказанного следует, что он не проигрывал ни первому, ни последнему, т. е. выиграл и у первого, и у последнего.
Но тогда он набрал больше очков, чем первый, поскольку первый выиграл только у последнего. Полученное противоречие доказывает, что исходное предположение неверно. Следовательно, все участники набрали одинаковое число очков.
В круговом турнире не было ничьих, за победу присуждалось 1 очко, за поражение — 0. Затем был определен коэффициент каждого участника. Он равнялся сумме очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен. Оказалось, что у всех участников коэффициенты равны. Число участников турнира больше двух. Докажите, что все спортсмены набрали одинаковое количество очков.
Решение:
Допустим, не все набрали одинаковое число очков. Пусть занявшие первое место («первые») набрали $K$ очков, а занявшие последнее место («последние») — $L$ очков. (Места определяются по очкам, а не по коэффициентам.)
Коэффициент «первых» — это сумма $K$ чисел, каждое из которых не меньше $L$. Значит, этот коэффициент не меньше $K \cdot L$. Аналогично, коэффициент «последних» — это сумма $L$ чисел, каждое из которых не больше $K$. Поэтому коэффициент «последних» не превосходит $K \cdot L$.
Если коэффициенты «первых» и «последних» равны, то они равняются $K \cdot L$. В этом случае каждый «первый» выиграл $K$ встреч у набравших $L$ очков, т. е. у «последних», а каждый «последний» выиграл $L$ встреч у набравших $K$ очков. Если число «первых» больше одного, то один из них выиграл у другого, что противоречит предыдущему. Значит, на первом месте один спортсмен. Аналогично, на последнем месте только один спортсмен.
По условию, в турнире есть третий участник. Из доказанного следует, что он не проигрывал ни первому, ни последнему, т. е. выиграл и у первого, и у последнего.
Но тогда он набрал больше очков, чем первый, поскольку первый выиграл только у последнего. Полученное противоречие доказывает, что исходное предположение неверно. Следовательно, все участники набрали одинаковое число очков.
