Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3255
2019-05-29 
Даны действительные числа $a_1 \leq a_2 \leq a_3$ и $b_1 \leq b_2 \leq b_3$ такие, что
$a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3$,
$a_1a_2 + a_2a_3 + a_1a_3 = b_1b_2 + b_2b_3 + b_1b_3$.
Докажите, что если $a_1 \leq b_1, то a_3 \leq b_3$.
Решение:
Данные задачи напоминают теорему Виета. Рассмотрим многочлены $P(x) = (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3)$ и $Q(x) = (x - b_1)(x - b_2)(x - b_3)$. Из условия задачи следует, что эти многочлены отличаются только свободным членом (достаточно раскрыть скобки). Поэтому график одного многочлена получается из графика другого сдвигом по оси ординат.
При $x \leq b_1$ имеем $Q(x) \leq 0$. Действительно, каждый из трех множителей в выражении для $Q(x)$ неположителен, а произведение трех неположительных чисел неположительно.
Итак, $Q(a_1) \leq 0, P(a_1) = 0$. Значит, график $y = Q(x)$ получается из графика $ = P(x)$ сдвигом вниз или совпадает с ним. В частности, $Q(a_3) \leq P(a_3) = 0$. Но при $x > b_3$ имеем $Q(x) > 0$. Следовательно, $a_3 \leq b_3$.
Даны действительные числа $a_1 \leq a_2 \leq a_3$ и $b_1 \leq b_2 \leq b_3$ такие, что
$a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3$,
$a_1a_2 + a_2a_3 + a_1a_3 = b_1b_2 + b_2b_3 + b_1b_3$.
Докажите, что если $a_1 \leq b_1, то a_3 \leq b_3$.
Решение:
Данные задачи напоминают теорему Виета. Рассмотрим многочлены $P(x) = (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3)$ и $Q(x) = (x - b_1)(x - b_2)(x - b_3)$. Из условия задачи следует, что эти многочлены отличаются только свободным членом (достаточно раскрыть скобки). Поэтому график одного многочлена получается из графика другого сдвигом по оси ординат.
При $x \leq b_1$ имеем $Q(x) \leq 0$. Действительно, каждый из трех множителей в выражении для $Q(x)$ неположителен, а произведение трех неположительных чисел неположительно.
Итак, $Q(a_1) \leq 0, P(a_1) = 0$. Значит, график $y = Q(x)$ получается из графика $ = P(x)$ сдвигом вниз или совпадает с ним. В частности, $Q(a_3) \leq P(a_3) = 0$. Но при $x > b_3$ имеем $Q(x) > 0$. Следовательно, $a_3 \leq b_3$.
