Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3253
2019-05-29 
Докажите, что среди четырехугольников с заданными длинами диагоналей и углом между ними наименьший периметр имеет параллелограмм.
Решение:
Рассмотрим некоторый четырехугольник $ABCD$. Перенесем его на вектор $\vec{AC}$ (рис.). Получим четырехугольник $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$, где $A^{ \prime} = C$, а четырехугольник $BB^{ \prime}D^{ \prime}D$ — параллелограмм, так как отрезки $BD$ и $B^{ \prime}D^{ \prime}$ параллельны и равны. Пусть $A_0, B_0, C_0$ и $D_0$ — середины отрезков $BD, BB^{ \prime}, B^{ \prime}D^{ \prime}$ и $D^{ \prime}D$ соответственно.
Мы утверждаем, что $A_0B_0C_0D_0$ — параллелограмм, длины диагоналей которого равны длинам диагоналей четырехугольника $ABCD$, а угол между диагоналями равен углу между диагоналями четырехугольника $ABCD$. То, что $A_0B_0C_0D_0$ — параллелограмм, следует из того, что отрезки $A_0B_0$ и $C_0D_0$ — средние линии треугольников $B^{ \prime}BD$ и $B^{ \prime}D^{ \prime}D$ соответственно. Второе утверждение следует из того, что отрезки $B_0D_0$ и $BD$ параллельны и равны также, как и отрезки $A_0C_0$ и $AC$.
Значит, осталось доказать, что периметр четырехугольника $ABCD$ не меньше периметра параллелограмма $A_0B_0C_0D_0$. Но периметр параллелограмма равен $B^{ \prime}D + BD^{ \prime}$ (по теореме о средней линии). По неравенству треугольника, $BC + CD^{ \prime} \geq BD^{ \prime}$ и $B^{ \prime}C + CD \geq B^{ \prime}D$. Складывая эти неравенства, получаем нужное утверждение.
Докажите, что среди четырехугольников с заданными длинами диагоналей и углом между ними наименьший периметр имеет параллелограмм.
Решение:
Рассмотрим некоторый четырехугольник $ABCD$. Перенесем его на вектор $\vec{AC}$ (рис.). Получим четырехугольник $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$, где $A^{ \prime} = C$, а четырехугольник $BB^{ \prime}D^{ \prime}D$ — параллелограмм, так как отрезки $BD$ и $B^{ \prime}D^{ \prime}$ параллельны и равны. Пусть $A_0, B_0, C_0$ и $D_0$ — середины отрезков $BD, BB^{ \prime}, B^{ \prime}D^{ \prime}$ и $D^{ \prime}D$ соответственно.
Мы утверждаем, что $A_0B_0C_0D_0$ — параллелограмм, длины диагоналей которого равны длинам диагоналей четырехугольника $ABCD$, а угол между диагоналями равен углу между диагоналями четырехугольника $ABCD$. То, что $A_0B_0C_0D_0$ — параллелограмм, следует из того, что отрезки $A_0B_0$ и $C_0D_0$ — средние линии треугольников $B^{ \prime}BD$ и $B^{ \prime}D^{ \prime}D$ соответственно. Второе утверждение следует из того, что отрезки $B_0D_0$ и $BD$ параллельны и равны также, как и отрезки $A_0C_0$ и $AC$.
Значит, осталось доказать, что периметр четырехугольника $ABCD$ не меньше периметра параллелограмма $A_0B_0C_0D_0$. Но периметр параллелограмма равен $B^{ \prime}D + BD^{ \prime}$ (по теореме о средней линии). По неравенству треугольника, $BC + CD^{ \prime} \geq BD^{ \prime}$ и $B^{ \prime}C + CD \geq B^{ \prime}D$. Складывая эти неравенства, получаем нужное утверждение.
