Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3252
2019-05-29 
Существует ли выпуклое тело, отличное от шара, ортогональные проекции которого на некоторые три попарно перпендикулярные плоскости являются кругами?
Решение:
Первый способ. Введем в пространстве координаты и рассмотрим координатные плоскости $\alpha, \beta$ и $\gamma$, заданные уравнениями $x = 0$, $y = 0$ и $z = 0$ соответственно.
Рассмотрим шар $B$, заданный неравенством
$x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$.
Его проекция на плоскость $\alpha$ — круг радиуса 1 с центром в начале координат. Множество точек, которые проецируются в этот круг, представляет собой цилиндр (обозначим его $C_1$), который задается неравенством
$x^2 + y^2 \leq 1$.
Аналогично определим цилиндры $C_2$ и $C_3$, как множества точек, которые проецируются в единичные круги с центрами в начале координат, лежащие в плоскостях $\beta$ и $\gamma$ соответственно.
Пусть $C$ — пересечение цилиндров $C_1, C_2$ и $C_3$. Мы утверждаем, что $C$ — требуемое тело. Оно выпукло, так как пересечение выпуклых множеств выпукло.
Покажем, что проекции тела $C$ на плоскости $\alpha$, $\beta$, и $\gamma$ — круги. Рассмотрим, например, плоскость $\alpha$. Проекция тела $C$ на эту плоскость содержится в единичном круге, так как проекция цилиндра $C_1$ совпадает с единичным кругом, а $C$ содержится в $C_1$. С другой стороны, этот единичный круг содержится в теле $C$, значит, проекция содержит круг. Итак, проекция тела $C$ на плоскость а содержит единичный круг и содержится в единичном круге, а, значит, совпадает с ним.
Осталось доказать, что тело $C$ не является шаром. Точка $\left ( \frac{ \sqrt{2}}{2}, \frac{ \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right )$ содержится в каждом из цилиндров $C_1, C_2$ и $C_3$ (например, $x^2 + y^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \leq 1$), так что эта точка
содержится в $C$. С другой стороны, она не принадлежит единичному шару — расстояние от нее до начала координат равно
$\sqrt { \left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2 + \left ( \frac{ \sqrt{2}}{2} \right )^2 + \left ( \frac{ \sqrt{2}}{2} \right )^2} = \sqrt{ \frac{3}{2}} > 1$.
Поэтому $C = B$.
Остается один вопрос, который может показаться глупым: а не может ли $C$ оказаться шаром, отличным от $B$? Нетрудно видеть, что не может: проекции тела $C$ на плоскости , и такие же как у шара $B$, но ясно, что два шара, имеющие одинаковые проекции на координатные плоскости, совпадают (проверьте!).
Второй способ (набросок). Рассмотрим шар и его проекции на три плоскости. Пусть некоторая точка $A$ сферы не проецируется ни на одну из границ проекций. Тогда некоторый круг с центром в точке $A$ обладает тем же свойством. Отрежем от шара соответствующий кусочек — получим фигуру, не являющуюся шаром, но дающую те же самые проекции на рассматриваемые плоскости.
Существует ли выпуклое тело, отличное от шара, ортогональные проекции которого на некоторые три попарно перпендикулярные плоскости являются кругами?
Решение:
Первый способ. Введем в пространстве координаты и рассмотрим координатные плоскости $\alpha, \beta$ и $\gamma$, заданные уравнениями $x = 0$, $y = 0$ и $z = 0$ соответственно.
Рассмотрим шар $B$, заданный неравенством
$x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$.
Его проекция на плоскость $\alpha$ — круг радиуса 1 с центром в начале координат. Множество точек, которые проецируются в этот круг, представляет собой цилиндр (обозначим его $C_1$), который задается неравенством
$x^2 + y^2 \leq 1$.
Аналогично определим цилиндры $C_2$ и $C_3$, как множества точек, которые проецируются в единичные круги с центрами в начале координат, лежащие в плоскостях $\beta$ и $\gamma$ соответственно.
Пусть $C$ — пересечение цилиндров $C_1, C_2$ и $C_3$. Мы утверждаем, что $C$ — требуемое тело. Оно выпукло, так как пересечение выпуклых множеств выпукло.
Покажем, что проекции тела $C$ на плоскости $\alpha$, $\beta$, и $\gamma$ — круги. Рассмотрим, например, плоскость $\alpha$. Проекция тела $C$ на эту плоскость содержится в единичном круге, так как проекция цилиндра $C_1$ совпадает с единичным кругом, а $C$ содержится в $C_1$. С другой стороны, этот единичный круг содержится в теле $C$, значит, проекция содержит круг. Итак, проекция тела $C$ на плоскость а содержит единичный круг и содержится в единичном круге, а, значит, совпадает с ним.
Осталось доказать, что тело $C$ не является шаром. Точка $\left ( \frac{ \sqrt{2}}{2}, \frac{ \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right )$ содержится в каждом из цилиндров $C_1, C_2$ и $C_3$ (например, $x^2 + y^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \leq 1$), так что эта точка
содержится в $C$. С другой стороны, она не принадлежит единичному шару — расстояние от нее до начала координат равно
$\sqrt { \left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2 + \left ( \frac{ \sqrt{2}}{2} \right )^2 + \left ( \frac{ \sqrt{2}}{2} \right )^2} = \sqrt{ \frac{3}{2}} > 1$.
Поэтому $C = B$.
Остается один вопрос, который может показаться глупым: а не может ли $C$ оказаться шаром, отличным от $B$? Нетрудно видеть, что не может: проекции тела $C$ на плоскости , и такие же как у шара $B$, но ясно, что два шара, имеющие одинаковые проекции на координатные плоскости, совпадают (проверьте!).
Второй способ (набросок). Рассмотрим шар и его проекции на три плоскости. Пусть некоторая точка $A$ сферы не проецируется ни на одну из границ проекций. Тогда некоторый круг с центром в точке $A$ обладает тем же свойством. Отрежем от шара соответствующий кусочек — получим фигуру, не являющуюся шаром, но дающую те же самые проекции на рассматриваемые плоскости.
