Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3250
2019-05-29 
$2n$ спортсменов дважды провели круговой турнир (в круговом турнире каждый встречается с каждым, за победу начисляется одно очко, за ничью - 1/2, за поражение — 0). Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее, чем на $n$, то она изменилась ровно на $n$.
Решение:
Разделим участников турнира на две группы: тех, кто набрал во втором турнире больше очков, чем в первом, и тех, кто набрал в первом турнире больше очков, чем во втором. Хотя бы одна из этих двух групп включает не менее, чем $n$ спортсменов. Пусть, например, такова первая группа, и в ней $x$ спортсменов. Пусть их общая сумма очков во втором турнире на $D$ больше, чем их сумма очков в первом турнире. Тогда из условия следует, что
$D \geq x \cdot n$. (1)
Это изменение произошло за счет встреч $x$ спортсменов с остальными $2n — x$ спортсменами (так как встречи спортсменов друг с другом внутри группы оба раза дали в сумме одно и то же количество очков, а именно $\frac{x(x-1)}{2}$). Каждая из встреч со спортсменами другой группы добавила не более одного очка. Поэтому
$D \leq x \cdot (2n — x)$. (2)
Сравнивая неравенства (1) и (2), получаем $2n — x \geq n$. Если хотя бы одно из предыдущих неравенств было бы строгим, то мы имели бы $2n — x > n$, что противоречило бы предположению $x \geq n$. Значит, $x = n$ и $D = n \times n$, и каждый спортсмен первой группы увеличил свою сумму очков ровно на $n$.
Так как во второй группе тоже $n$ спортсменов, к ней применимо аналогичное рассуждение.
$2n$ спортсменов дважды провели круговой турнир (в круговом турнире каждый встречается с каждым, за победу начисляется одно очко, за ничью - 1/2, за поражение — 0). Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее, чем на $n$, то она изменилась ровно на $n$.
Решение:
Разделим участников турнира на две группы: тех, кто набрал во втором турнире больше очков, чем в первом, и тех, кто набрал в первом турнире больше очков, чем во втором. Хотя бы одна из этих двух групп включает не менее, чем $n$ спортсменов. Пусть, например, такова первая группа, и в ней $x$ спортсменов. Пусть их общая сумма очков во втором турнире на $D$ больше, чем их сумма очков в первом турнире. Тогда из условия следует, что
$D \geq x \cdot n$. (1)
Это изменение произошло за счет встреч $x$ спортсменов с остальными $2n — x$ спортсменами (так как встречи спортсменов друг с другом внутри группы оба раза дали в сумме одно и то же количество очков, а именно $\frac{x(x-1)}{2}$). Каждая из встреч со спортсменами другой группы добавила не более одного очка. Поэтому
$D \leq x \cdot (2n — x)$. (2)
Сравнивая неравенства (1) и (2), получаем $2n — x \geq n$. Если хотя бы одно из предыдущих неравенств было бы строгим, то мы имели бы $2n — x > n$, что противоречило бы предположению $x \geq n$. Значит, $x = n$ и $D = n \times n$, и каждый спортсмен первой группы увеличил свою сумму очков ровно на $n$.
Так как во второй группе тоже $n$ спортсменов, к ней применимо аналогичное рассуждение.
